Question

如图，正方形ABCD中，E为BC边上的中点，F是CD边上一点，且DF=3CF，求证：∠AEF=90°．

Answer 1

考点：正方形的性质,勾股定理,勾股定理的逆定理

专题：证明题

分析：利用正方形的性质得出AB=BC=CD=DA，∠B=∠C=∠D=90°，设出边长为a，进一步利用勾股定理求得AE、EF、AF的长，再利用勾股定理逆定理判定即可．

解答：证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠B=∠C=∠D=90°．
设AB=BC=CD=DA=a，
∵E是BC的中点，且DF=3CF，
∴BE=EC=

1

2

a，CF=

1

4

a，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得AE²=AB²+BE²=

5

4

a²，
同理可得：EF²=EC²+FC²=

5

16

a²，AF²=AD²+DF²=

25

16

a²，
∵AE²+EF²=AF²，
∴△AEF为直角三角形，
∴∠AEF=90°．

点评：此题考查正方形的性质，勾股定理、勾股定理逆定理的运用，注意在正方形中的直角三角形的应用．