Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是BC的中点，且∠B+∠ADC=90°，过点B、D作⊙O，使圆心D在AB上，⊙O交AB于点E．
（1）求证：直线AD与⊙0相切；
（2）若AC=6，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，DE，
∵OD=OB，
∴∠B=∠BDO，
∵∠B+∠ADC=90°，
∴∠ADC+∠BDO=90°，
∴∠ADO=180°-90°=90°，
∴OD⊥AD，
∵OD过圆心O，
∴直线AD与⊙0相切．

（2）解：∵∠B+∠ADC=90°，∠ADC+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠C=∠C=90°，
∴△CAD∽△CBA，
∴=，
∵D是BC中点，
∴CD=BC，
∴AC²=BC²，
∵AC=6，
∴BC=6，
∴由勾股定理得：AB==6，
∵BE是直径，∠C=90°，
∴∠BDE=∠C=90°，
∴DE∥AC，
∵D为BC中点，
∴E为AB中点，
∴AE=AB=3．
答：AE的长是3．
分析：（1）连接OD，根据已知得出∠CDA+∠BDO=90°，求出∠ADO=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）求出DE∥AC，推出DE是△ACB的中位线，推出AE=BE=AB，证△CAD∽△CBA，得出比例式，求出BC，根据勾股定理求出AB即可．
点评：本题考查了切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识点的运用，（1）小题的关键是连接OD后证出OD⊥AD，（2）小题的关键是求出BC的长，题目比较好，有一定的难度．