分析 (1)由图象可知,点A′的运动轨迹是以B为圆心,BA为半径的圆弧,当P与D重合时,∠ABA′=2∠ABD=120°,利用弧长公式计算即可;
(2)设$\widehat{AA°}$交BD于K.作直线EK,易证EK是⊙B的切线,可以推出∠BEK=30°,所以当α<30°时,若点A′有2次机会落在直线l上,由此即可解决问题;
解答 解:(1)如图,连接BD.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,
∴AB=2,AD=2$\sqrt{3}$,
∴tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\sqrt{3}$,
∴∠ABD=60°,
由图象可知,点A′的运动轨迹是以B为圆心,BA为半径的圆弧,当P与D重合时,∠ABA′=2∠ABD=120°,
∴点A′所经过的路径的长为$\frac{120π•2}{180}$=$\frac{4}{3}$π,
故答案为$\frac{4}{3}$π.
(2)设$\widehat{AA′}$交BD于K.作直线EK,易证EK是⊙B的切线,
∴∠EKB=90°,
∵∠EBK=60°,
∴∠BEK=30°,
∴当α<30°时,若点A′有2次机会落在直线l上,
∴tanα的取值范围是0<tanα<$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
故答案为0<tanα<$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
点评 本题考查轨迹、矩形的性质、锐角三角函数、切线的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找点A′的运动轨迹,学会利用特殊位置解决问题,所以中考常考题型.
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