精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
12.如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=2$\sqrt{3}$,动点P从A点出发,沿AD运动到D点,连接BP,点A关于直线BP的对称点为A′,
(1)在整个运动过程中,点A′所经过的路径的长为$\frac{4}{3}$π;
(2)点E在BA的延长线上,EA=2,直线l经过点E,与直线EA所夹锐角为α,若点A′有2次机会落在直线l上,则tanα的取值范围是0<tanα<$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

分析 (1)由图象可知,点A′的运动轨迹是以B为圆心,BA为半径的圆弧,当P与D重合时,∠ABA′=2∠ABD=120°,利用弧长公式计算即可;
(2)设$\widehat{AA°}$交BD于K.作直线EK,易证EK是⊙B的切线,可以推出∠BEK=30°,所以当α<30°时,若点A′有2次机会落在直线l上,由此即可解决问题;

解答 解:(1)如图,连接BD.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,
∴AB=2,AD=2$\sqrt{3}$,
∴tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\sqrt{3}$,
∴∠ABD=60°,
由图象可知,点A′的运动轨迹是以B为圆心,BA为半径的圆弧,当P与D重合时,∠ABA′=2∠ABD=120°,
∴点A′所经过的路径的长为$\frac{120π•2}{180}$=$\frac{4}{3}$π,
故答案为$\frac{4}{3}$π.

(2)设$\widehat{AA′}$交BD于K.作直线EK,易证EK是⊙B的切线,
∴∠EKB=90°,
∵∠EBK=60°,
∴∠BEK=30°,
∴当α<30°时,若点A′有2次机会落在直线l上,
∴tanα的取值范围是0<tanα<$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
故答案为0<tanα<$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

点评 本题考查轨迹、矩形的性质、锐角三角函数、切线的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找点A′的运动轨迹,学会利用特殊位置解决问题,所以中考常考题型.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

17.下列图形中,是中心对称图形,但不是轴对称图形(  )
A.线段B.C.等边三角形D.平行四边形

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

3.用最简分数表示:2小时15分=2$\frac{1}{4}$小时,1.6的倒数是$\frac{5}{8}$.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

20.某一公路的道路维修工程,准备从甲、乙两个工程队选一个队单独完成.根据两队每天的工程费用和每天完成的工程量可知,若由两队合做此项维修工程,6天可以完成,共需工程费用385200元,若单独完成此项维修工程,甲队比乙队少用5天,每天的工程费用甲队比乙队多4000元,
(1)若甲单独完成需要多少天?
(2)从节省资金的角度考虑,应该选择哪个工程队?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

7.如图1所示的方格中,对某个相邻的上下或左右两格的数字同时加2或同时减3,算一次操作,经过若干次操作后得到如图2所示的方格.如果此时图2中所有数字和为27,求x,y的值.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

17.某校有一长方形花圃,里面有一些杂草需要处理.小聪单独完成这项杂草清除任务需要150分钟,小聪单独施工30分钟后,小明加入清理,两人又共同工作了15分钟,完成总清理任务的$\frac{1}{3}$.
(1)小明单独完成这项清理任务需要多少分钟?
(2)为了加快清理,二人各自提高工作效率,设小明提高后的工作效率是m,小聪提高后的工作效率是小明提高后的工作效率的k倍(1≤k≤2),若两人合作40分钟后完成剩余的杂草清除任务,则m的最大值为$\frac{1}{120}$.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

4.某商场计划用500元购进A型节能台灯,用3000元购进B型节能台灯,已知A型节能台灯的进货单价比B型的进货单价少20元.
(1)若B型节能灯购进的数量是A型数量的3倍,这两种台灯各购进多少盏?
(2)若A型节能灯的进价为20元/盏,售价为35元/盏,B型节能灯的售价为60元/盏,商场购进100盏台灯且规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的2倍,应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多?此时利润为多少元?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

1.某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场,就用8000元购进一批衬衫,面市后果然供不应求,服装商又用17600元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进数量的2倍,但单价贵了8元.商家销售这种衬衫时每件定价都是100元,最后剩下10件按8折销售,很快售完.
(1)两批进货的单价各是多少元?
(2)在这两笔生意中,商家共盈利多少元?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

2.把如图是线段比例尺改写成数值比例尺是1:3000000.

查看答案和解析>>

同步练习册答案