Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF．

（1） 证明：EF＝CF；
(2) 当AE＝2时，求EF的长．

Answer 1

（1）见解析, （2）EF = 5

解：(1) 如图，过D作DG⊥BC于G
由已知可得四边形ABGD为正方形
∵DE⊥DC
∴∠ADE＋∠EDG＝90°＝∠GDC＋∠EDG
∴∠ADE＝∠GDC
在△ADE与△GDC中，
∴△ADE≌△GDC (ASA) ···························· 3分
∴DE＝DC且AE＝GC
在△EDF和△CDF中
∴△EDF≌△CDF（SAS）··························· ·6分
∴EF＝CF··································· 7分
(2) ∵AE＝2
设EF＝x，则BF＝8－CF＝8－x，BE＝4
由勾股定理x²＝＋4²
解得  
∴EF = 5    12分
(1)过D作DG⊥BC于G，可得四边形ABGD为正方形，求得△ADE≌△GDC (ASA)，△EDF≌△CDF（SAS），从而得出结论
(2)利用勾股定理求解