Question

今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：

周数x	1	2	3	4
价格y（元/kg）	2	2.2	2.4	2.6

进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数y=-x²+bx+c．
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y与x的函数关系式，并求出5月份y与x的函数关系式；
（2）若4月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=x+1.2，5月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=x+2．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？
（3）若5月份的第2周共销售100吨此种蔬菜．从5月份的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可供销量将在第2周销量的基础上每周减少a%，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第2周仅上涨0.8a%．若在这一举措下，此种蔬菜在第3周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a的整数值．
（参考数据：37²=1369，38²=1444，39²=1521，40²=1600，41²=1681）

Answer 1

【答案】分析：（1）从表格看出，x每增加1，y就增加0.2，由此可确定是一次函数关系式；把x=1，y=2.8和x=2，y=2.4，分别代入y=-+bx+c可求b、c的值，确定二次函数解析式；
（2）根据一次函数，二次函数的性质及自变量的取值范围，求最大利润；
（3）根据增长率的公式，列出方程求解即可．
解答：解：（1）4月份y与x满足的函数关系式为y=0.2x+1.8
把x=1，y=2.8和x=2，y=2.4，分别代入y=-+bx+c得

解得：，
∴5月份y与x满足的函数关系式为y=-0.05x²-0.25x+3.1；

（2）设4月份第x周销售此种蔬菜一千克的利润为W₁元，5月份第x周销售此种蔬菜一千克的利润为W₂元．则：
W₁=（0.2x+1.8）-（x+1.2）=-0.05x+0.6
∵-0.05＜0，∴W₁随x的增大而减少
∴当x=1时，W_1最大=-0.05+0.6=0.55
W₂=（-0.05x²-0.25x+3.1）-（-x+2）=-0.05x²-0.05x+1.1
∵对称轴为x=-=-0.5，且-0.05＜0，
∴当x=1时，W_2最大=1
∴4月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为0.55元，
5月份销售此种蔬菜一千克的利润在第1周最大，最大利润为1元．

（3）由题意知：[100（1-a%）+2]×2.4（1+0.8a%）=2.4×100，
整理，得a²+23a-250=0，解得a=
∵39²=1521，40²=1600，而1529更接近1521，∴取≈39
∴a≈-31（舍去）或a≈8．
点评：本题考查了一次函数、二次函数解析式求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．