Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，若P和Q两点关于原点对称，则称点P与点Q是一个“和谐点对”，表示为[P，Q]，比如[P（1，2），Q（﹣1，﹣2）]是一个“和谐点对”．

（1）写出反比例函数y＝图象上的一个“和谐点对”；

（2）已知二次函数y＝x2+mx+n，

①若此函数图象上存在一个和谐点对[A，B]，其中点A的坐标为（2，4），求m，n的值；

②在①的条件下，在y轴上取一点M（0，b），当∠AMB为锐角时，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）可取[P（1，1），Q（﹣1，﹣1）]；（2）①m=2,n=-4；②b的取值范围为或．

【解析】

（1）由题目中所给和谐点对的定义可知P、Q即为关于原点对称的两个点，在反比例函数图象上找出两点即可；

（2）①由A、B为和谐点对可求得点B的坐标，则可得到关于m、n的方程组，可求得其值；②当M在x轴上方时，可先求得∠AMB为直角时对应的M点的坐标，当点M向上运动时满足∠AMB为锐角；当点M在x轴下方时，同理可求得b的取值范围．

解：（1）∵y＝，

∴可取[P（1，1），Q（﹣1，﹣1）]；

（2）①∵A（2，4）且A和B为和谐点对，

∴B点坐标为（﹣2，﹣4），

将A和B两点坐标代入y＝x2+mx+n，可得，

∴；

②如图：

（ⅰ） M点在x轴上方时，

若∠AMB 为直角（M点在x轴上），则△ABC为直角三角形，

∵A（2，4）且A和B为和谐点对，B点坐标为（﹣2，﹣4），

∴原点O在AB线段上且O为AB中点，

∴AB＝2OA，

∵A（2，4），

∴OA＝，

∴AB＝，

在Rt△ABC中，

∵O为AB中点

∴MO＝OA＝，

若∠AMB 为锐角，则；

（ⅱ） M点在x轴下方时，同理可得， ，

综上所述，b的取值范围为：或．