Question

如图，∠BAC=90°，AC=AB，直线l与以AB为直径的圆相切于点B，点E是圆上异于A、B的任意一点．直线AE与l相交于点D．
（1）如果AD=10，BD=6，求DE的长；
（2）连接CE，过E作CE的垂线交直线AB于F．当点E在什么位置时，相应的F位于线段AB上、位于BA的延长线上、位于AB的延长线上（写出结果，不要求证明）．无论点E如何变化，总有BD=BF．请你就上述三种情况任选一种说明理由．

Answer 1

如图
（1）∵BD是切线，DA是割线BD=6，AD=10
∴DB²=DE•DA
∴DE=

DB2

DA

=

36

10

=3.6；

（2）设M是上半圆的中点，当E在BM弧上时，F在直径AB上
当E在AM弧上时，F在BA的延长线上，当E在下半圆时，F在AB的延长线上
连接BE
∵AB是直径，AC、BD是切线，∠CEF=90°
∴∠AEB=90°，∠CAE=∠FBE，∠DBE=∠BAE
∵∠CEA=90°-∠AEF
∠FEB=90°-∠AEF
∴∠CEA=∠FEB
∴Rt△DBE∽Rt△BAE，△CAE∽△FBE
∴

DB

BA

=

BE

AE

，

BF

AC

=

BE

AE

∵AC=AB
∴BD=BF．