【题目】在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.动点M、N分别在两腰AB、AC上(M不与A、B重合,N不与A、C重合),且MN∥BC.将△AMN沿MN所在的直线折叠,使点A的对应点为P.
(1)当MN为何值时,点P恰好落在BC上?
(2)当MN=x,△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y,试写出y与x的函数关系式.当x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
【答案】(1)当MN=3时,点P恰好落在BC上;(2)当x=4时,y的值最大,最大值是4.
【解析】
(1)连接AP,交MN于O,证△AMN∽△ABC,AO⊥MN,得,求MN即可;(2)过点A作AD⊥BC于D,交MN于O,证△AMN∽△ABC,P⊥BC,△AMN∽△ABC,△PEF∽△PMN∽△AMN,利用相似性质得y=S梯形MNFE=
(EF+MN)OD=
×(2x﹣6+x)×(4﹣
x)=﹣(x﹣4)2+4,求函数最值即可.
解:(1)连接AP,交MN于O,
∵将△AMN沿MN所在的直线折叠,使点A的对应点为P,
∴OA=OP,AP⊥MN,AN=PN,AM=PM,
∵MN∥BC,
∴△AMN∽△ABC,AO⊥MN,
∴,
∵BC=6,
∴MN=3,
∴当MN=3时,点P恰好落在BC上;
(2)过点A作AD⊥BC于D,交MN于O,
∵MN∥BC,
∴AO⊥MN,
∴△AMN∽△ABC,
∴,
∵AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,BD=BC=3,
∴AD=4,
∴,
∴AO=x,
∴S△AMN=MNAO=
x
x=
x2,
当AO≤AD时,
根据题意得:S△PMN=S△AMN,
∴△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为S△AMN,
∴y=x2,
∴当AO=AD时,即MN=
BC=3时,y最小,最小值为3;
当AO>AD时,
连接AP交MN于O,
则AO⊥MN,
∵MN∥BC,
∴AP⊥BC,△AMN∽△ABC,△PEF∽△PMN∽△AMN,
∴,
,
即:,
,
∴AO=x,
∴,
∴EF=2x﹣6,OD=AD﹣AO=4﹣x,
∴y=S梯形MNFE=(EF+MN)OD=
×(2x﹣6+x)×(4﹣
x)=﹣(x﹣4)2+4,
∴当x=4时,y有最大值,最大值为4,
综上所述:当x=4时,y的值最大,最大值是4.
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【题目】某工程队修建一条长1200 m的道路,采用新的施工方式,工效提升了50%,结果提前4天完成任务.
(1)求这个工程队原计划每天修道路多少米?
(2)在这项工程中,如果要求工程队提前2天完成任务,那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几?
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【题目】某校开展“传统文化”知识竞赛,已知该校七年级男生和女生各有学生200人,从中各随机抽取20名学生进行抽样调查,获得了他们知识竞赛成绩(满分100分),并进行整理,得到下面部分信息.
男生:74 97 96 89 98 74 65 76 72 78 99 72 97 76 99 74 99 73 98 74
女生:76 87 93 65 78 94 89 68 95 54 89 87 89 89 77 94 86 87 92 91
成绩 | 50≤x≤59 | 60≤x≤69 | 70≤x≤79 | 80≤x≤89 | 90≤x≤100 |
男生 | 0 | 1 | 10 | 1 | 8 |
女生 | 1 | 2 | a | 8 | 6 |
平均数、中位数、众数、方差如表所示:
成绩 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 |
男生 | 84 | 77 | 74 | 145.4 |
女生 | 84 | b | 89 | 115.6 |
根据以上信息,回答下列问题:
(1)a= ,b= ;
(2)你认为七年级学生中,男生还是女生的总体成绩较好,为什么?(至少从两个不同的角度说明)
(3)若在此次竞赛中,该校七年级学生中有四人取得100分的好成绩,且恰好是两个男生两个女生.现从这四人中随机抽取两人参加市里的竞赛,求这两人恰好是一男一女的概率.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BC相交于点N.连接BM,DN.
(1)求证:四边形BMDN是菱形;
(2)若AB=4,AD=8,求MD的长.
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【题目】为了弘扬传统文化,某校组织八年级全体学生参加“恰同学少年,品诗词美韵”的古诗词比赛.比赛结束后,学校随机抽取的部分学生成绩作为样本,并进行整理后分成下面5组,分
的小组称为“诗词少年”组,
分
的小组称为“诗词居士”组,
分
的小组称为“诗词圣手”组,
分
的小组称为“诗词达人”组,
分
的小组称为“诗词泰斗”组;下面是将整理的样本绘制的不完整的频数分布直方图,请结合提供的信息解答下列问题:
(1)若“诗词泰斗”组成绩的频率12.5%,求出样本容量,补全频数分布直方图;
(2)以各组组中值代表本组的选手的平均成绩,计算样本中不含“诗词圣手”组的其他四组学生的平均成绩;
(3)学校决定对成绩进人“诗词圣手”、“诗词达人”、“诗词泰斗“组的学生进行奖励,若八年级共有240名学生,请通过计算推断,大约有多少名学生获奖.
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【题目】垃圾分类问题受到全社会的广泛关注,我区某校学生会向全校2100名学生发起了“垃圾要回家,请你帮助它”的捐款活动,用于购买垃圾分类桶.为了解捐款情况,学生会随机调查了部分学生的捐款金额,并用得到的数据绘制了如图统计图1和图2,请根据相关信息,解答下列问题:
(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为 ,图1中m的值是 ;
(2)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数;
(3)根据样本数据,估计该校本次活动捐款金额为5元的学生人数.
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【题目】(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.求证:CE=CF;
(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠GCE=45°,请你利用(1)的结论证明:GE=BE+GD.
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,DE="10," 求直角梯形ABCD的面积.
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【题目】某校王老师组织九(1)班同学开展数学活动,某天带领同学们测量学校附近一电线杆的高.已知电线杆直立于地面上,在太阳光的照射下,电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上,在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°,在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°,斜坡与地面成60°角,CD=4m,请你根据这些数据求电线杆的高AB.(结果用根号表示)
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