Question

14．已知四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数$y=\frac{8}{x}$的图象经过点C，且与AB交于点E，若OD=2，则△OCE的面积为4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由OD=2结合反比例函数的解析式可得出点C的坐标，由此即可得出直线OC的解析式和线段OC的长度，根据菱形的性质结合平移的性质即可得出直线AB的解析式，联立直线AB的解析式与反比例函数的解析式成方程组，解方程组即可得出点E的坐标，再通过分割图形求面积法找出S_△OCE=S_梯形CDFE，利用梯形的面积公式即可得出结论．

解答 解：过点E作EF⊥x轴于点F，如图所示．

∵OD=2，
∴点C的横坐标为2，
∵点C在反比例函数y=$\frac{8}{x}$的图象上，
∴点C的坐标为（2，4），
∴直线OC的解析式为y=2x，OC=$\sqrt{（2-0）^{2}+（4-0）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=OC=2$\sqrt{5}$，
∴直线AB的解析式为y=2（x-2$\sqrt{5}$）=2x-4$\sqrt{5}$．
联立直线AB的解析式和反比例函数解析式成方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-4\sqrt{5}}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}-3}\\{y=-2\sqrt{5}-6}\end{array}\right.$（舍去），或$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{5}}\\{y=6-2\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
∴点E的坐标为（3+$\sqrt{5}$，6-2$\sqrt{5}$）．
S_△OCE=S_△OCD+S_梯形CDFE-S_△OEF=S_梯形CDFE=$\frac{1}{2}$（CD+EF）•DF=$\frac{1}{2}$（y_C+y_E）•（x_E-x_C）=$\frac{1}{2}$×（4+6-2$\sqrt{5}$）×（3+$\sqrt{5}$-2）=4$\sqrt{5}$．
故答案为：4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数系数k的几何意义、菱形的性质以及平移的性质，解题的关键是找出S_△OCE=S_梯形CDFE．本题属于中档题，难度不大，但涉及到的知识点较多，解决该题型题目时，通过分割图形求面积法找出所求三角形的面积与梯形面积相等是关键．