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    如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点（点P与点C不重合），连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，连接AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F．
    （1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在
     
    关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；
    （2）如图2，设∠ABP=β．当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
    （3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合．已知AB=4，设DP=x，△A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系式．
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    分析：（1）通过证明∠PAE=∠EBF，结合公共角证明即可；
    （2）根据AA易得：△BEF∽△AEP，结合一组对应边相等的相似图形全等，最后根据全等三角形的性质可知；
    （3）连接BD，交A1B1于点G，过点A1作A1H⊥AC于点H．根据三角形的面积公式可得S关于x的函数关系式．
    解答：解：（1）相似（1分）
    由题意得：∠APA1=∠BPB1=α，AP=A1P，BP=B1P，
    则∠PAA1=∠PBB1=
    180°-α
    2
    =90°-
    α
    2
    ，（2分）
    ∵∠PBB1=∠EBF，
    ∴∠PAE=∠EBF，
    又∵∠BEF=∠AEP，∠EBF=∠EAP，
    ∴△BEF∽△AEP；（3分）

    （2）存在，理由如下：（4分）
    ∵∠PAE=∠EBF，∠AEP=∠BEF，
    ∴△BEF∽△AEP，
    若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即可，（5分）
    ∴∠BAE=∠ABE，
    ∵∠BAC=60°，
    ∴∠BAE=60°-(90°-
    α
    2
    )=
    α
    2
    -30°    ，
    ∵∠ABE=β，∠BAE=∠ABE，（6分）
    ∴
    α
    2
    -30°=β    ，
    即α=2β+60°；（7分）
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    （3）连接BD，交A1B1于点G，
    过点A1作A1H⊥AC于点H．
    ∵∠B1A1P=∠A1PA=60°，
    ∴A1B1∥AC，
    由题意得：AP=A1P=2+x，∠A=60°，
    ∴△PAA1是等边三角形，
    ∴A1H=sin60°A1P=
    		3
    2
    (2+x)    ，（8分）
    在Rt△ABD中，BD=2
    		3
    ，
    ∴BG=2
    		3
    -
    		3
    2
    (2+x)=
    		3
    -
    		3
    2
    x    ，（9分）
    ∴S△A1BB1=
    1
    2
    ×4×(
    		3
    -
    		3
    2
    x)=2
    		3
    -
    		3
    x    （0≤x＜2）．（10分）
    点评：此题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定及性质；利用等边三角形的性质去探究相似三角形和全等三角形，利用相似三角形和全等三角形的性质解决题目的图形变换规律是非常重要的，要注意掌握．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在等边△ABC中，AD是∠BAC的平分线，一个含有120°角的△MPN的顶点P（∠MPN=120°）与点D重合，一边与AB垂直于点E，另一边与AC交于点F．
    （1）请猜想并写出AE+AF与AD之间满足的数量关系，不必证明．
    （2）在图1的基础上，若△MPN绕着它的顶点P旋转，E、F仍然是△MPN的两边与AB、AC的交点，当三角形纸板的边不与AB垂直时，如图2，（1）中猜想是否仍然成立？说明理由．
    （3）如图3，若△MPN绕着它的顶点P旋转，当△MPN的一边与AB的延长线相交，另一边与AC的反向延长线相交时，AE、AF与AD之间又满足怎样的数量关系？直接写出结论，不必证明．精英家教网

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【观察发现】
    （1）如图1，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．
    作法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P．
    （2）如图2，在等边三角形ABC中，AB=4，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．
    作法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为
    2
    		3
    2
    		3
    ．
    【实践运用】
    如图3，菱形ABCD中，对角线AC、BD分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，若点P是BD上的动点，则MP+PN的最小值是
    5
    5
    ．
    【拓展延伸】
    （1）如图4，正方形ABCD的边长为5，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是
    5
    		2
    2
    5
    		2
    2
    ；
    （2）如图5，在四边形ABCD的对角线BD上找一点P，使∠APB=∠CPB．保留画图痕迹，并简要写出画法．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    请阅读下列材料?：
    问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=
    		3
    ，PC=1．求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．
    李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′PB是等边三角形（可证），而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°．进而把AB放在Rt△APB（可证得）中，用勾股定理求出等边△ABC的边长为
    		7
    ．问题得到解决．?
    [思路分析]首先仔细阅读材料，问题中小明的做法总结起来就是通过旋转固定的角度将已知条件放在同一个（组）图形中进行研究．旋转60度以后BP就成了BP′，PC成了P′A，借助等量关系BP′=PP′，于是△APP′就可以计算了．
    解决问题：
    请你参考李明同学旋转的思路，探究并解决下列问题：
    如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=
    		5
    ，BP=
    		2
    ，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）画图探究：
    如图1，若点A、B在直线m同侧，在直线m上求作一点P，使AP+BP的值最小，保留作图痕迹，不写作法；
    （2）实践运用：
    如图2，在等边△ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，点P是高AD上一个动点，求BP+PE的最小值
    （3）拓展延伸：
    如图3，四边形ABCD中，∠BAD=125°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，并求此时∠MAN的度数．

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