Question

4．定义：如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线你为平面图形的一条面积等分线．
（1）如图1，已知△ABC，请用尺规作出△ABC的一条面积等分线；
（2）已知：如图2，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在x轴的正半轴上、OC在y轴的正半轴上，OA=6，OC=4．
①请判断直线y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{8}{3}$是否为矩形OABC的面积等分线，并说明理由；
②若矩形OABC的面积等分线与坐标轴所围成的三角形面积为4，请直接写出此分线的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）先作出边BC的垂直平分线找出BC的中点D，过点A、D作直线即可；
（2）先判断出矩形OABC的面积等分线必过矩形的中心M，确定出此中心的坐标，进而判断点M是否在直线y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{8}{3}$上，即可；
（3）先设出矩形的面积等分线的解析式，利用和坐标轴围成的三角形的面积是4建立方程求解即可．

解答 解：（1）如图1，

直线AD就是△ABC的一条面积等分线；

（2）如图2，连接AC，BD，
∴M是矩形OABC的中心，
∴点M是AC的中点，

∵OA=6，OC=4，
∴A（6，0），C（0，4），
∴M（3，2），
∵四边形OABC是矩形，
∴矩形OABC的面积等分线必过点M，
把x=3代入y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{8}{3}$中，得，y=$\frac{4}{3}$×3-$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$≠2，
∴直线y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{8}{3}$不过点M，
∴直线y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{8}{3}$不是矩形OABC的面积等分线；
（3）如图3，

由（2）知，矩形OABC的面积等分线必过点M（3，2），
设矩形OABC的面积等分线的解析式为y=kx+b与x轴相交于点E，与y轴相交于F，
∴3k+b=2，
∴b=2-3k，
∴矩形OABC的面积等分线的解析式为y=kx+2-3k，
令x=0，y=2-3k，
∴F（0，2-3k），
∴OF=|2-3k|
令y=0，
∴x=$\frac{3k-2}{k}$，
∴E（$\frac{3k-2}{k}$，0），
∴OE=|$\frac{3k-2}{k}$|，
∵矩形OABC的面积等分线与坐标轴所围成的三角形面积为4，
∴$\frac{1}{2}$OE•OF=4，
∴OE•OF=8，
∴|2-3k|•|$\frac{3k-2}{k}$|=8，
∴k=2或k=$\frac{2}{9}$
∴矩形OABC的面积等分线函数表达式为y=2x-4或y=$\frac{2}{9}$x+$\frac{4}{3}$．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了三角形的中线的性质，基本作图，矩形的性质，待定系数法，解（1）的关键是作出BC的中点，解（2）的关键是确定出矩形的面积等分线必过矩形的中心，解（3）的关键是用三角形的面积建立方程求解，是一道中等难度的中考常考题．