Question

20．如图所示，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是边AD的中点，M是边AB上任一点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD、AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）当AM为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质可得ND∥AM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，根据中点的定义求出DE=AE，然后利用“角角边”证明△NDE和△MAE全等，根据全等三角形对应边相等得到ND=MA，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；
（2）根据矩形的性质得到DM⊥AB，再求出∠ADM=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ND∥AM，
∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME．
∵E是AD中点，
∴DE=AE，
在△NDE和△MAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NDE=∠MAE}&{\;}\\{∠DNE=∠AME}&{\;}\\{DE=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△NDE≌△MAE（AAS），
∴△NDE≌△MAE，
∴ND=AM，
∴四边形AMDN是平行四边形．
（2）解：当AM=1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：
∵四边形AMDN是菱形，
∴AD=AB=2，
∵平行四边形AMDN是矩形，
∴DM⊥AB，
即∠AMD=90°．
∵∠BAD=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD=1．

点评 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键，也是本题的突破口．