Question

19．已知：在平面直角坐标系中．放入一块等腰直角三角板ABC，∠BAC=90°，AB=AC，A点的坐标为（0，2），B点的坐标为（4.0）．
（1）求C点的坐标；
（2）D为△ABC内-点（AD＞2），连AD．并以AD为边作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，AD=AE．连CD、BE，试判断线段CD、BE的位置及数量关系，并给出你的证明；
（3）旋转△ADE，使D点刚好落在x轴的负半轴，连CE交y轴于M．求证：①EM=CM；②BD=2AM．

Answer 1

分析 （1）过C作CD⊥y轴于D，根据余角的性质得到∠ACD=∠OAB，推出△ACD≌△ABO，根据全等三角形的性质得到CD=AO，AD=OB，由A点的坐标为（0，2），B点的坐标（4.0），得到OA=2，OB=4，即可得到结论；
（2）延长CD交AB于F，交BE于G，通过△ABE≌△CAD，得到∠ACD=∠ABE，CD=BE，由于∠ACD+∠AFC=90°，等量代换得到∠ABE+∠AFC=90°，根据对顶角的性质得到∠AFC=∠BFG，于是得到∠ABE=∠BFG=90°，即可得到结论；
（3）①如图3，过C作CP⊥y轴于P，过E作EQ⊥y轴于Q，根据余角的性质得到∠BAO=∠ACP，推出△ABO≌△ACP，根据全等三角形的性质得到AO=CP，AO=EQ，于是得到CP=EQ，证得△EQM≌△CPM，根据全等三角形的性质即可得到结论；②如图4，在y轴上截取MK=AM，连接CK，根据全等三角形的性质得到CK=AE，∠MKC=∠MAE，推出△ABD≌△ACK，由全等三角形的性质得到BD=AK，等量代换即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，过C作CD⊥y轴于D，
∴∠CDA=∠AOB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠ACD=∠DAC+∠OAB=90°，
∴∠ACD=∠OAB，
在△ACD与△ABO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠AOB}\\{∠ACD=∠OAB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ABO，
∴CD=AO，AD=OB，
∵A点的坐标为（0，2），B点的坐标为（4.0），
∴OA=2，OB=4，
∴CD=2，OD=6，
∴C（2，6）；

（2）CD⊥BE，CD=BE，
如图2，延长CD交AB于F，交BE于G，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠CAD=∠BAE，
在△ABE与△CAD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAD，
∴∠ACD=∠ABE，CD=BE，
∵∠ACD+∠AFC=90°，
∴∠ABE+∠AFC=90°，
∵∠AFC=∠BFG，
∴∠ABE=∠BFG=90°，
∴∠BGF=90°，
∴CD⊥BE；

（3）①如图3，过C作CP⊥y轴于P，过E作EQ⊥y轴于Q，
∴∠APC=∠AQE=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAP+∠ACP=∠CAP+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠ACP，
在△ABO与△ACP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠ACP}\\{∠AOB=∠APC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△ACP，
∴AO=CP，
同理△ADO≌△AEQ，
∴AO=EQ，
∴CP=EQ，
在△CPM与△EQM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CPM=∠EQM=90°}\\{∠CMP=∠EMQ}\\{CP=EQ}\end{array}\right.$，
∴△EQM≌△CPM，
∴CM=EM，
②如图4，在y轴上截取MK=AM，连接CK，
在△AME与△CMK中，$\left\{\begin{array}{l}{EM=CM}\\{∠AME=∠CMK}\\{AM=KM}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△CMK，
∴CK=AE，∠MKC=∠MAE，
∵AE=AD，∠ACK=180°-∠CKM-∠CAK，∠BAD=180-∠EAM-∠CAK，
∴CK=AD，∠ACK=∠BAD，
在△ABD与△ACK中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠ACK}\\{AD=CK}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACK，
∴BD=AK，
∵AK=2AM，
∴BD=2AM．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．