Question

已知a，b为正整数，关于x的方程x²-2ax+b=0的两个实数根为x₁，x₂，关于y的方程y²+2ay+b=0的两个实数根为y₁，y₂，且满足x₁y₁-x₂y₂=2008．求b的最小值．

Answer 1

分析：根据公式法首先表示出方程的根，再利用假设法分析得出注意a为正整数，得知t是有理数，从而t是整数．

解答：解：关于x的方程x²-2ax+b=0的根为a±

a2-b

，关于y的方程y²+2ay+b=0的根为-a±

a2-b

．
设

a2-b

=t，则
当x₁=a+t，x₂=a-t；y₁=-a+t，y₂=-a-t时，有x₁y₁-x₂y₂=0，不满足条件；
当x₁=a-t，x₂=a+t；y₁=-a-t，y₂=-a+t时，有x₁y₁-x₂y₂=0，不满足条件；
当x₁=a-t，x₂=a+t；y₁=-a+t，y₂=-a-t时，得x₁y₁-x₂y₂=4at；
当x₁=a+t，x₂=a-t；y₁=-a-t，y₂=-a+t时，得x₁y₁-x₂y₂=-4at．
由于t=

a2-b

＞0，于是有at=502．
（10分）
又由于a为正整数，得知t是有理数，从而t是整数．
由at=502，得a=251，t=2，即b取最小值为b=a²-t²=251²-2²=62997．
所以b的最小值为62997．
（15分）

点评：此题主要考查了公式法解一元二次方程，此题难度较大，求出根后，分别分析得出符合条件的b的值是解决问题的关键．