Question

如图，等腰梯形ABCD置于平面直角坐标系中，CD∥x轴，AB 在x轴上，AC平分∠DAB，直线AD的解析式为y=

4

3

x+4．
（1）求点C的坐标；
（2）动点P分别从点A出发，沿AB向终点B运动，速度为每秒2个单位长度，过点P作x轴的垂线，并交直线AC于点F，过F点作x轴的平行线交直线BC于点M，设点P运动时间为t秒，设线段FM的长度为y，求y与t的函数关系式（请直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，设△PFM的外接圆的圆心为K，连接FM、KM，当t为何值时，直线PM与KF所夹锐角正切值为

3

4

．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）先由直线AD的解析式为y=

4

3

x+4求出OA=3，OD=4，再根据角平分线定义和两直线平行内错角相等可求得AD=CD=BC=5，过点C作CE⊥AB，就可求出OE=CD=5，CE=OD=4，从而求出点C的坐标为（5，4）．
（2）先由（1）可求出AE=OA+OE=8，再根据题中条件可知tan∠CAE=

PF

AP

=

CE

AE

=

1

2

，从而可用含t的代数式表示PF=t，由于点P是从点A出发，沿AB向终点B运动的动点，所以应分情况讨论，即P在点E的左侧和P在点E的右侧可形成两种不同的图形．①当点P在点E的左侧时（0＜t＜4），PM交CE于点N，易得△CFM∽△CAB，从而利用

FM

AB

=

CN

CE

作为等量关系得到

y

11

=

4-t

4

，即可得y=11-

11

4

t；②当点P在点E右侧时（4＜t＜

11

2

），直线CE与MF交与点N′，方法与①相同，利用△CFM∽△CAB即可求得y=

11

4

t-11．
（3）过点F作FG⊥PM于点G，根据题意tan∠FKG=

3

4

，即可得到FG：GK=3：4，再利用勾股定理求出在Rt△FGK中FG：GK：KF=3：4：5，易得△FPG∽△MFG∽△MPF，然后利用三角形相似的相似比来求出对应的t值．当t=

44

15

时，PF=FM，所以①当0＜t＜

44

15

时，PF=t＜FM=11-

11

4

t，利用

PF

FM

=

DG

GF

=

1

3

可求出t=

44

23

；②当

44

15

＜t＜4时，PF=t＞FM=11-

11

4

t，利用

PF

FM

=

FG

GM

=3，可求t=

132

37

；③当4＜t＜

11

2

时，PF=t，FM=

11

4

t-11，利用

PF

FM

=

DG

GF

=

1

3

，可求出t=

44

23

．

解答：解：（1）由直线AD的解析式为y=

4

3

x+4可知
当x=0时，y=4，即点D坐标为（0，4）
当y=0时，x=-3，即点A的坐标为（-3，0）
故OA=3，OD=4
∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠BAC
∵CD∥AB  AD=BC
∴∠DCA=∠BAC
∴∠DAC=∠DCA
∴AD=CD=BC=5
过点C作CE⊥AB，交AB于点E，则
OE=CD=5  CE=OD=4
∴点C的坐标为（5，4）

（2）由（1）可知 AE=OA+OE=8
由题意可知 AP=2t
∵tan∠CAE=

PF

AP

=

CE

AE

=

1

2

∴PF=

1

2

AP=t
①当点P在点E的左侧时，PM交CE于点N
∵FM⊥PF    PF∥CE
∴FM⊥CE
∴NE=FP=t
∵FM∥AB
∴△CFM∽△CAB
∴

FM

AB

=

CN

CE

∴

y

11

=

4-t

4

即y=11-

11

4

t（0＜t＜4）

②当点P在点E右侧时，直线CE与MF交与点N′，则N′E=FP=t
∵FM∥AB
∴△CFM∽△CAB
∴

FM

AB

=

CN′

CE

∴

y

11

=

t-4

4

即y=

11

4

t-11（4＜t＜

11

2

）

（3）∵∠PFM=90°
∴FK=KM=KP
过点F作FG⊥PM于点G，则tan∠FKG=

3

4

，即FG：GK=3：4
在Rt△FGK中FG：GK：KF=3：4：5
∵在Rt△PFM中FG⊥PM
∴△FPG∽△MFG∽△MPF
①当0＜t＜

44

15

时，PF=t，FM=11-

11

4

t，如图
∵FK=KM=KP
∴PG：FG=1：3
∴

PF

FM

=

DG

GF

=

1

3

∴

t

11- 11 4 t

=

1

3

∴t=

44

23

②当

44

15

＜t＜4时，PF=t，FM=11-

11

4

t，如图
MG：FG=1：3
∴

PF

FM

=

FG

GM

=3
∴

t

11- 11 4 t

=3
∴t=

132

37

③当4＜t＜

11

2

时，PF=t，FM=

11

4

t-11，如图
MG：FG=1：3
∴

PF

FM

=

FG

GM

=3
∴

t

11 4 t-11

=3
∴t=

132

29

综上可知，当t1=

44

23

，t₂=

132

37

，t3=

132

29

时直线PM与KF所夹锐角正切值为

3

4

．

点评：考查了有关动点类的综合性习题，考虑问题要全面，如本题中的（2）小题有两种情况，（3）小题有三种情况．本题主要运用相似三角形的相似比得到的比例关系来找到线段与线段之间的数量关系求解如第（2）小题主要是利用了相似三角形的对应高的比等于相似比来列出数量关系．第（3）小题主要是利用了相似三角形的对应边的比等于相似比来列出数量关系．由于点P是动点所以衍生出了多种情况，所以做此类问题一般可以用一种方法解决动点问题衍生出的各种情况．