Question

19．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=$\frac{k}{x}$与直线y=-x-（k+1）在第二象限的交点．AB⊥x轴于B，且S_△ABO=$\frac{3}{2}$．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积；
（3）直接写出关于x的不等式$x+（k+1）+\frac{k}{x}≤0$的解集．

Answer 1

分析 （1）欲求这两个函数的解析式，关键求k值．根据反比例函数性质，k绝对值为3且为负数，由此即可求出k；
（2）由函数的解析式组成方程组，解之求得A、C的坐标，然后根据S_△AOC=S_△ODA+S_△ODC即可求出；
（3）根据图象即可求得．

解答 解：（1）设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0，
则S_△ABO=$\frac{1}{2}$•|BO|•|BA|=$\frac{1}{2}$•（-x）•y=$\frac{3}{2}$，
∴xy=-3，
又∵y=$\frac{k}{x}$
即xy=k，
∴k=-3．
∴所求的两个函数的解析式分别为y=-$\frac{3}{x}$，y=-x+2；

（2）由y=-x+2，
令x=0，得y=2．
∴直线y=-x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2），
∵A、C在反比例函数的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=-\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=-1}\end{array}\right.$，
∴交点A为（-1，3），C为（3，-1），
∴S_△AOC=S_△ODA+S_△ODC=$\frac{1}{2}$OD•（|x₁|+|x₂|）=$\frac{1}{2}$×2×（3+1）=4；

（3）关于x的不等式$x+（k+1）+\frac{k}{x}≤0$的解集是：x≤-1或0＜x≤3．

点评 此题首先利用待定系数法确定函数解析式，然后利用解方程组来确定图象的交点坐标，及利用坐标求出线段和图形的面积．也考查了函数和不等式的关系．