Question

9．如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M为⊙O上一点，并且∠BMC=60°．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且∠EDF=120°，⊙O的半径为2，试问BE+CF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连结OB、OD、OC，如图1，由于D为BC的中点，根据垂径定理的推理得OD⊥BC，∠BOD=∠COD，再根据圆周角定理得∠BOD=∠M=60°，则∠OBD=30°，所以∠ABO=90°，于是根据切线的判定定理得AB是⊙O的切线；
（2）作DM⊥AB于H，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，根据等边三角形三角形的性质得AD平分∠BAC，∠BAC=60°，则利用角平分线性质得DH=DN，根据四边形内角和得∠HDN=120°，由于∠EDF=120°，所以∠HDE=∠NDF，接着证明△DHE≌△DNF得到HE=NF，于是BE+CF=BH+CN，再计算出BH=$\frac{1}{2}$BD，CN=$\frac{1}{2}$OC，则BE+CF=$\frac{1}{2}$BC，于是可判断BE+CF的值是定值，为等边△ABC边长的一半，再计算BC的长即可．

解答 （1）证明：连结OB、OD、OC，如图1，
∵D为BC的中点，
∴OD⊥BC，∠BOD=∠COD，
∴∠ODB=90°，
∵∠BMC=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠BOD=∠M=60°，
∴∠OBD=30°，
∵△ABC为正三角形，
∴∠ABC=60°
∴∠ABO=60°+30°=90°，
∴AB⊥OB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：BE+CF的值是为定值．
作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，
∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴DH=DN，∠HDN=120°，
∵∠EDF=120°，
∴∠HDE=∠NDF，
在△DHE和△DNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DHE=∠DNF}\\{DH=DN}\\{∠HDE=∠NDF}\end{array}\right.$，
∴△DHE≌△DNF，
∴HE=NF，
∴BE+CF=BH-EH+CN+NF=BH+CN，
在Rt△DHB中，∵∠DBH=60°，
∴BH=$\frac{1}{2}$BD，
同理可得CN=$\frac{1}{2}$OC，
∴BE+CF=$\frac{1}{2}$OB+$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$BC，
∵BD=OB•cos30°=$\sqrt{3}$，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
∴BE+CF的值是定值，为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的性质．