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    2．如图，已知抛物线经过点A（-2，0），点B（-3，3）及原点O，顶点为C．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）P是抛物线的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）是否存在动点D在抛物线上，动点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边，以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）根据待定系数法，利用A、B、O三点的坐标可求得抛物线解析式；
    （2）由B、C的坐标可求得OB、OC的长，且可求得∠BOC=90°，设出P点坐标，可表示出PM和AM的长，当△PMA和△BOC相似时可得到$\frac{PM}{OB}$=$\frac{AM}{OC}$或$\frac{PM}{OC}$=$\frac{AM}{OB}$，从而可求得P点坐标；
    （3）AO为四边形的一边时，过E作ED∥AO，且DE=AO=2，则可求得D点的横坐标，从而可求得D点坐标．

    解答 解：
    （1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
    将A（-2，0），B（-3，3），O（0，0）代入可得
    $\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{9a-3b+c=3}\\{c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=0}\end{array}\right.$，
    ∴抛物线解析式为y=x2+2x；
    （2）存在．理由如下：
    ∵y=x2+2x=（x+1）2-1，
    ∴C点坐标为（-1，-1），
    ∴∠AOC=45°，OC=$\sqrt{2}$，
    ∵B（-3，-3），
    ∴∠BOA=45°，OB=3$\sqrt{2}$，
    ∴∠BOC=90°，
    过P作PM⊥x轴于点M，连接AP，如图1，

    设P点坐标为（x，x2+2x），
    ∵P点在第一象限，
    ∴PM=x2+2x，AM=AO+OM=x+2，
    ∵∠PMA=∠BOC=90°，
    ∴当△PMA和△BOC相似时则有$\frac{PM}{OB}$=$\frac{AM}{OC}$或$\frac{PM}{OC}$=$\frac{AM}{OB}$，
    ①当$\frac{PM}{OB}$=$\frac{AM}{OC}$时，则有$\frac{{x}^{2}+2x}{3\sqrt{2}}$=$\frac{x+2}{\sqrt{2}}$，即x2-x-6=0，解得x=3或x=-2（舍去），
    此时P点坐标为（3，15）；
    ②当$\frac{PM}{OC}$=$\frac{AM}{OB}$时，则有$\frac{{x}^{2}+2x}{\sqrt{2}}$=$\frac{x+2}{3\sqrt{2}}$，即3x2+5x-2=0，解得x=$\frac{1}{3}$或x=-2（舍去），
    此时P点坐标为（$\frac{1}{3}$，$\frac{7}{9}$）；
    综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（3，15）或（$\frac{1}{3}$，$\frac{7}{9}$）；
    （3）存在，D点坐标为（1，3）或（-3，3）．
    当以A、O、D、E为顶点的平行四边形时，且AO为边，
    则有DE=AO=2，且DE∥AO，
    ∴D点只能在x轴上方，
    过点E作DE∥x轴，交抛物线与点D，如图2，

    设D点横坐标为x，
    ∵E点在抛物线对称轴上，
    ∴E点横坐标为-1，
    ∴DE=|x+1|=2，
    解得x=1或x=-3，
    ∴D点坐标为（1，3）或（-3，3）．

    点评 本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、抛物线的顶点烃、对称轴、相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等．在（2）中求得∠BOC=90°是解题的关键，注意相似三角形的对应关系，在（3）中确定出D点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

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