Question

【题目】定义：如图1，平面上两条直线AB、CD相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线AB、CD的距离分别为p、q，则称有序实数对(p，q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O．

（1）“距离坐标”为1，0的点有 个；

（2）如图2，若点M在过点O且与直线AB垂直的直线l上时，点M的“距离坐标”为p，q，且BOD 150，请写出p、q的关系式并证明；

（3）如图3，点M的“距离坐标”为，且DOB 30，求OM的长．

Answer 1

【答案】(1)2；(2)；(3)

【解析】

（1）根据“距离坐标”的定义结合图形判断即可；

（2）过M作MN⊥CD于N，根据已知得出，，求出∠MON＝60°，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出即可解决问题；

（3）分别作点关于、的对称点、，连接、、，连接、分别交、于点、点，首先证明，求出，，然后过作，交延长线于，根据含30度直角三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出EF即可．

解：（1）由题意可知，在直线CD上，且在点O的两侧各有一个，共2个，

故答案为：2；

（2）过作于，

∵直线于，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴；

（3）分别作点关于、的对称点、，连接、、，连接、分别交、于点、点．

∴，，

∴，，，

∴，

∴△OEF是等边三角形，

∴，

∵，，

∴，，

∵，

∴，

过作，交延长线于，

∴，

在中，，则，

在中，，，

∴，

∴．