【题目】如图,在中,
,点
从点
出发以每秒2个单位的速度沿
向终点
运动,过点
作
的垂线交折线
于点
,当点
不和
的顶点重合时,以
为边作等边三角形
,使点
和点
在直线
的同侧,设点
的运动时间为
(秒).
(1)求等边三角形的边长(用含
的代数式表示);
(2)当点落在
的边
上时,求
的值;
(3)设与
重合部分图形的面积为
,求
与
的函数关系式;
(4)作直线,设点
关于直线
的对称点分别为
,直接写出
时
的值.
【答案】(1);(2)
;(3)
;(4)
的值为
秒或
秒.
【解析】
(1)分两种情况讨论:当点Q在线段AC上时,当点Q在线段BC上时,根据30度的直角三角形的性质或特殊的三角函数列式可得结论;
(2)根据PQ=PM,列出关于t的方程即可解答;
(3)分三种情况:①当时,Q在AC上,如图2,△PQM与△ABC重合部分图形是等边△PMQ,
②当时,Q在BC上,如图5,△PQM与△ABC重合部分图形是四边形PEDQ,
③当时,Q在BC上,如图4,△PQM与△ABC重合部分图形是等边△PMQ,
根据面积公式可得结论;
(4)分两种情况:
①当Q在AC上时,如图6,根据AC=AQ+CQ,列关于t的方程可得结论;
当Q在BC上时,如图7,根据CQ=Q'E=2PQ,列关于t的方程可得结论.
解:(1)由题意,得,在
中,
∵,
∴,
∴,当点
与点
重合时,如图①,
∵,
∴,
∴,即
,当点
在边
上时,如图②,
即
当点在边
上时,如图③,即
,
在中,
∵,
,
∴;
(2)当点落在
上时,如图④,
,
∵,
,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴ ;
(3)分三种情况:①当时,点
在
上,如图②,
与
重合部分图形是等边
,
∴;
②当时,点
在
上,如图⑤,
与
重合部分图形是四边形
,
由(2)得,,
∴,
∵,
,
∴,
∴,
∴
③当时,点
在
上,如图④,
与
重合部分图形是等边
,
∴
综上所述,与
的函数关系式为
(4)分两种情况:
①当点在
上时,如图⑥,
,延长
、
交
于同一点
,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
由对称得:,
∴,
中,
,
,
∵,
∴,
∵,
∴.
②当点在
上时,如图⑦,当
时,点
在
上,连接
,并延长
、
交
上同一点为
,易得
,
∴,由(2)知
,
∴,由
得
,
解得,则
时
的值为
秒或
秒.
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【题目】如图,将△ABC绕顶点A顺时针旋转60°后得到△AB1C1,且C1为BC的中点,AB与B1C1相交于D,若AC=2,则线段B1D的长度为_____.
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【题目】为了解初三学生的体育锻炼时间,小华调查了某班45名同学一周参加体育锻炼的情况,并把它绘制成折线统计图(如图所示).那么关于该班45名同学一周参加体育锻炼时间的说法错误的是( )
A.众数是9
B.中位数是9
C.平均数是9
D.锻炼时间不低于9小时的有14人
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【题目】如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦,点D为劣弧AC上一点,弦DE⊥AB分别交⊙O于E,交AB于H,交AC于F.P是ED延长线上一点且PC=PF.
(1) 求证:PC是⊙O的切线;
(2) 点D在劣弧AC什么位置时,才能使,为什么?
(3) 在(2)的条件下,若OH=1,AH=2,求弦AC的长.
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【题目】如图,已知等边△ABC的边长是2,以BC边上的高AB1为边作等边三角形,得到第一个等边△AB1C1;再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形,得到第二个等边△AB2C2;再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形,得到第三个等边△AB3C3;…,记△B1CB2的面积为S1,△B2C1B3的面积为S2,△B3C2B4的面积为S3,如此下去,则Sn=_____.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D.
(1)求作⊙O,使得点O在边AB上,且⊙O经过B、D两点(要求尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)证明AC与⊙O相切.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,点A在y轴上,点C在x轴上,BC⊥x轴,tan∠ACO=.延长AC到点D,过点D作DE⊥x轴于点G,且DG=GE,连接CE,反比例函数y=
(k≠0)的图象经过点B,和CE交于点F,且CF:FE=2:1.若△ABE面积为6,则点D的坐标为_____.
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【题目】如图,直线y=2x+6与反比例函数的图象交于点A(1,m),与x轴交于点B,平行于x轴的直线y=n(0<n<6)交反比例函数的图象于点M,交AB于点N,连接BM.
(1)求m的值和反比例函数的表达式;
(2)观察图象,直接写出当x>0时,不等式2x+6-<0的解集;
(3)当n为何值时,△BMN的面积最大?最大值是多少?
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