试题分析:(1)要想求出PM的长度,可以利用△ANB∽△APM得到比例
,当t=1时,MB=1,NB=1,AM=3,∴PM=
;(2)当△PNB∽△PAD时,可以得到比例
,∵△ANB∽△APM,∴
,∴
,可以求出t;(3)要判断两个梯形的面积是否相等,只需要把各自的面积表示出来,得到方程,方程有解,则存在,由题,△AMP∽△ABN,∴
,即
,∴PM=
,∵PQ=3﹣
,当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等,即
,化简得t=
,∵t≤3,∴3<a≤6;(4)由(2)知道,当3<a≤6时,梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等,∴梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可,将两个梯形的面积表示出来,得到方程,方程有解,则a存在,则CN=PM,∴
=3﹣t,得t
2﹣2at+3a=0,把t=
代入,得9a
3﹣108a=0,∵a≠0,∴9a
2﹣108=0,∴a=±2
,∴a=2
,当a=2
时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等.
试题解析:(1)当t=1时,MB=1,NB=1,AM=4﹣1=3,
∵PM∥BN,
∴△ANB∽△APM,
∴
,
∴PM=
;
(2)由题,∵△PNB∽△PAD,
∴
,
∵△ANB∽△APM,
∴
,
∴
,
∴t=2,相似比为2:3;
(3)∵PM⊥AB,CB⊥AB,∠AMP=∠ABC,
∴△AMP∽△ABN,
∴
,即
,
∴PM=
,
∵PQ=3﹣
,
当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等,即
=
=
,
化简得t=
,
∵t≤3,
∴
≤3,
则a≤6,
∴3<a≤6;
(4)由(2)知道,当3<a≤6时,梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等,
∴梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可,则CN=PM,
∴
=3﹣t,
两边同时乘以a,得at﹣t
2=3a﹣at,
整理,得t
2﹣2at+3a=0,
把t=
代入,整理得9a
3﹣108a=0,
∵a≠0,
∴9a
2﹣108=0,
∴a=±2
,
∴a=2
,
∴存在a,当a=2
时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等.