Question

【题目】已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝76°，C为⊙O上一点．

（Ⅰ）如图①，求∠ACB的大小；

（Ⅱ）如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D，若AB＝AD．求∠EAC的大小．

Answer 1

【答案】（1）52°；（2）19°.

【解析】

（Ⅰ）连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和等于360°求出∠BOA的度数，再根据圆周角定理可求出∠ACB的度数；
（Ⅱ）连接CE，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，进而求出∠BCE和∠BAE的度数，根据等腰三角形的性质求∠ABD＝∠ADB的度数，再根据三角形的外角性质计算即可．

解：（Ⅰ）如图，连接OA、OB，

∵PA，PB是⊙O的切线，

∴∠OAP＝∠OBP＝90°，

∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣76°＝104°，

由圆周角定理得，∠ACB＝∠AOB＝52°；

（Ⅱ）如图，连接CE，

∵AE为⊙O的直径，

∴∠ACE＝90°，

∵∠ACB＝52°，

∴∠BCE＝90°﹣52°＝38°，

∴∠BAE＝∠BCE＝38°，

∵AB＝AD，

∴∠ABD＝∠ADB＝71°，

∴∠EAC＝∠ADB﹣∠ACB＝71°-52°=19°．