【题目】如图,直线相交于,在直线上分别取点,使,分别过点A,B作直线的垂线,垂足分别为,直线与交于,设.
(1)求证:;
(2)小明说,不论是锐角还是钝角,点都在的平分线上,你认为他说的有道理吗?并说明理由.
(3)连接,当与三角板的形状相同时,直接写出的值.
【答案】(1)见解析;(2)小明的说法正确.见解析;(3)60°,120°,90°.
【解析】
(1)通过证明即可得证;
(2)由(1)得OC=OD,再利用角平分线的判定即可得证;
(3)连接,当与三角板的形状相同时,的锐角可能为30°,60°,45°,再证∠COE=∠DOE,最后利用对顶角相等即可求得答案.
(1)证明:∵AC⊥BC,AD⊥BD,
∴∠ACO=∠BDO=90°
在与中,
(AAS),
(2)由(1)可知,
,
又∵,
点在的平分线上,
与是锐角还是钝角没有关系,
∴不论是锐角还是钝角,点都在的平分线上.
∴小明的说法正确.
(3)如图,由(2)得OE平分∠CED,
∴∠CEO=∠OED,
又∵∠ECO=∠ODE=90°,
∴∠COE=∠DOE,
∴=∠COD=2∠COE,
当∠COE=30°时,=60°,
当∠COE=60°时,=120°,
当∠COE=45°时,=90°,
综上所述,的值为:60°,120°,90°.
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【题目】如图,⊙O的半径为5,△ABC是⊙O的内接三角形,AB=8.AD和过点B的切线互相垂直,垂足为D.
(1)求证:∠BAD+∠C=90°;
(2)求线段AD的长.
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【题目】如图,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边的点E处,过点E作EG∥CD交AF于点G,连接DG.
(1)求证:四边形EFDG是菱形;
(2)求证:EG2=GFAF;
(3)若AB=4,BC=5,求GF的长.
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【题目】某中学为了解学生对新闻,体育,娱乐,动画四类电视节目的喜爱情况,进行了统计调查.随机调查了某班所有同学最喜欢的节目(每名学生必选且只能选择四类节目中的一类),并将调查结果绘成如下不完整的统计图.
根据两图提供的信息,回答下列问题:
(1)本次调查了多少人?
(2)请补全条形统计图;
(3)根据抽样调查结果,若该校有1000名学生,请你估计该校有多少名学生最喜欢“新闻”类节目;
(4)在全班同学中,甲,乙,丙,丁等同学最喜欢体育类节,班主任打算从甲,乙,丙,丁4名同学中选取2人参加学校组织的体育知识竞赛,请用列表法或树状图求同时选中甲,乙两同学的概率.
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【题目】将一段抛物线向右依次平移3个单位,得到第2,3,4段抛物线,设这四段抛物线分别为,若直线与第四段抛物线有唯一公共点,则的取值范围是( )
A.B.C.或D.
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【题目】用一张斜边长为的等腰直角三角形纸片进行折“狗脸”活动(如图1所示) .第一步,如图2,沿向后折一个面积为1的等腰直角三角形;第二步,在直角边.上各取一点为的中点,将分别沿折叠,使得点对应点落在直线上,交于点交于点,则“狗脸”(图形)的面积为__________.
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【题目】如图,已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A,B两点,且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2,
求:(1)一次函数的解析式;
(2)△AOB的面积;
(3)直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标是(4,0),并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,以线段EF的中点G为圆心,以EF为直径作⊙G,当⊙G最小时,求出点P的坐标.
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