Question

（2013•如皋市模拟）如图，在菱形ABCD中，E为边BC的中点，DE与对角线AC交于点M，过点M作MF⊥CD于点F，∠1=∠2．
求证：（1）DE⊥BC；
（2）AM=DE+MF．

Answer 1

分析：（1）根据菱形的性质以及等角对等边可以证得△CMD是等腰三角形，则依据三线合一定理可得CF=

1

2

CD，然后可以证得△CFM≌△CEM，根据全等三角形的对应角相等即可证得；
（2）延长AB交DE于点N，利用等角对等边证明AM=MN，然后根据DE=NE即可证得．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴∠BCA=∠ACD，AB∥CD．
∴∠1=∠ACD．
∵∠1=∠2，
∴∠ACD=∠2．
∴MC=MD．                                              
∵MF⊥CD，
∴∠CFM=90°，CF=

1

2

CD．
∵E为BC的中点，
∴CE=BE=

1

2

BC．
∴CF=CE．                                                 
∵CM=CM，
∵在△CFM和△CEM中，

CE=CF ∠BCA=∠DCA CM=CM

，
∴△CFM≌△CEM（SAS）．                                        
∴∠CEM=∠CFM=90°，
即DE⊥BC．                                               

（2）延长AB交DE于点N，
∵AB∥CD，CE=BE，
∴NE=DE，∠N=∠2．                              
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠N．
∴AM=MN．                               
∵NM=NE+ME，
∴AM=DE+ME．
∵ME=MF，
∴AM=DE+MF．

点评：本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合应用，理解菱形的性质是关键．