Question

12．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，BD=8．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点A作AH⊥BC于点H，求AH的长．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形的性质结合勾股定理的逆定理得出△AOB是直角三角形，进而得出四边形ABCD是菱形；
（2）利用菱形的面积求法得出AH的长．

解答 （1）证明：∵在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，BD=8，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=3，BO=$\frac{1}{2}$BD=4，
∵AB=5，且3²+4²=5²，
∴AO²+BO²=AB²，
∴△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；

（2）解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=5，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BO=$\frac{1}{2}$BC•AH，
∴$\frac{1}{2}$×6×4=$\frac{1}{2}$×5×AH，
解得：AH=$\frac{24}{5}$．

点评 此题主要考查了菱形的判定与性质，正确掌握菱形的判定方法是解题关键．