Question

如图，I是△ABC的内心，且AB+BI=AC．若∠ABC=82°，则∠BAC的度数为（　　）

A．41°

B．52°

C．57°

D．68°

Answer 1

分析：在AB上取AD=AB，连接ID，IC，由AB+BI=AC可知CD=IB，根据IA平分∠BAC证明△ABI≌△ADI，得出ID=IB，可得ID=CD，而IC平分∠ACB，得出∠BCI=∠DCI=∠DIC，证明ID∥BC，得出∠ACB=∠ADI=∠ABI=41°，再根据三角形内角和定理求解．

解答：解：如图，在AB上取AD=AB，连接ID，IC，
∵IA平分∠BAC，
∴∠BAI=∠DAI，
在△ABI和△ADI中，
∵

AB=AD ∠BAI=∠DAI AI=AI

，
∴△ABI≌△ADI，∴ID=IB，∠ADI=∠ABI=

1

2

∠ABC=41°，
∵AD+CD=AC，AB+BI=AC，∴CD=IB，
∴ID=CD，则∠DCI=∠DIC，
又∵IC平分∠ACB，
∴∠BCI=∠DCI=∠DIC，
∴ID∥BC，
∴∠ACB=∠ADI=41°，
在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-82°-41°=57°，
故选C．

点评：本题考查了三角形内心的性质，全等三角形的判定与性质．三角形的内心与三角形三顶点的连线平分三角形的三个内角．