如图1.已知△ABC是等腰直角三角形.∠BAC=90°.点M是BC的中点.作正方形MNPQ.使点A.C分别在MQ和MN上.连接AN.BQ．(1)直接写出线段AN和BQ的数量关系是BQ=AN．(2)将正方形MNPQ绕点M逆时针方向旋转θ①判断(1)的结论是否成立?请利用图2证明你的结论,②若BC=MN=6.当θ为何值时.AN取得最大值.请画出此时的图形.并直接写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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8．如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点M是BC的中点，作正方形MNPQ，使点A、C分别在MQ和MN上，连接AN、BQ．
（1）直接写出线段AN和BQ的数量关系是BQ=AN．
（2）将正方形MNPQ绕点M逆时针方向旋转θ（0°＜θ≤360°）
①判断（1）的结论是否成立？请利用图2证明你的结论；
②若BC=MN=6，当θ（0°＜θ≤360°）为何值时，AN取得最大值，请画出此时的图形，并直接写出AQ的值．

分析（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质，得出△AMN≌△BMQ，即可得出结论；
（2）①如图2，连接AM，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质，可以得出△AMN≌△BMQ，即可得出结论；②由①可知BG=AE，当BQ取得最大值时，AN取得最大值，由勾股定理即可得出结论．

解答解：（1）BQ=AN．
理由：如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点M是BC的中点，
∴AM⊥BC，BM=AM，
∴∠AMB=∠AMC=90°．
∵四边形PQMN是正方形，
∴QM=NM．
在△QMB和△NMA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=AM}\\{∠QMB=∠AMN}\\{QM=NM}\end{array}\right.$，
∴△QMB≌△NMA（SAS），
∴BQ=AN．
故答案为：BQ=AN；

（2）①BQ=AN成立．
理由：如图2，连接AM，
∵在Rt△BAC中，M为斜边BC中点，
∴AM=BM，AM⊥BC，
∴∠AMQ+∠QMB=90°．
∵四边形PQMN为正方形，
∴MQ=NM，且∠QMN=90°，
∴∠AMQ+∠NMA=90°，
∴∠BMQ=∠AMN．
在△BMQ和△AMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{MQ=MN}\\{∠BMQ=∠AMN}\\{BM=AM}\end{array}\right.$，
∴△BMQ≌△AMN（SAS），
∴BQ=AN；

②由①得，BQ=AN，
∴当BQ取得最大值时，AN取得最大值．
如图3，当旋转角θ=270°时，BQ=AN（最大），此时∠AMQ=90°．
∵BC=MN=6，M是BC的中点，
∴MQ=6，AM=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴在Rt△AMQ中，由勾股定理得
AQ=$\sqrt{A{M}^{2}+M{Q}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$．

点评本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，正方形的性质的综合应用，解答时作辅助线构造直角三角形和全等三角形并证明三角形全等是解决问题的关键．

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