【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,弦CD与AB交于点E,连接AD,过点A作直线MN,使∠MAC=∠ADC.
(1)求证:直线MN是⊙O的切线.
(2)若sin∠ADC=,AB=8,AE=3,求DE的长.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)由圆周角定理得到∠ACB=90°,求得∠BAM=90°,根据垂直的定义得到AB⊥MN,即可得到结论;
(2)连接OC,过E作EH⊥OC于H,根据三角函数的定义得到∠D=30°,求得∠AOC=60°,解直角三角形得到,根据相交弦定理得到结论.
(1)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠B+∠BAC=90°,
∵∠B=∠D,∠MAC=∠ADC,
∴∠B=∠MAC,
∴∠MAC+∠CAB=90°,
∴∠BAM=90°,
∴AB⊥MN,
∴直线MN是⊙O的切线;
(2)解:连接OC,过E作EH⊥OC于H,
∵sin∠ADC=,
∴∠D=30°,
∴∠B=∠D=30°,
∴∠AOC=60°,
∵AB=8,
∴AO=BO=4,
∵AE=3,
∴OE=1,BE=5,
∵∠EHO=90°,
∴,
∴CH=,
,
∵弦CD与AB交于点E,
由相交弦定理得,AEBE=CEDE,
.
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【题目】如图,抛物线y=+bx+c经过△ABC的三个顶点,其中点A(0,﹣1),点B(9,﹣10),AC∥x轴,点P是直线AC上方抛物线上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB,AC分别交于点E,F,当四边形AECP的面积最大时,求点P的坐标;
(3)当点P为抛物线的顶点时,在直线AC上是否存在点Q,使得以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=1,点D是斜边上一点,且AD=4BD.
(1)求tan∠BCD的值;
(2)过点B的⊙O与边AC相切,切点为AC的中点E,⊙O与直线BC的另一个交点为F.
(ⅰ)求⊙O的半径;
(ⅱ) 连接AF,试探究AF与CD的位置关系,并说明理由.
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【题目】如图,△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3),B(3,1),C(5,4).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;
(2)以点P(1,﹣1)为位似中心,在如图所示的网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2,使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2:1;
(3)画出△ABC绕点C逆时针旋转90°的△A′B′C′,并写出线段BC扫过的面积
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【题目】在一个不透明的盒子里,装有四个分别标有数字1,2,3,4的小球,它们的形状、大小、质地等完全相同.小米先从盒子中随机取出一个小球,记下数字为x,且不放回盒子,再由小华随机取出一个小球,记下数字为y.
(1)用列表法或画树状图表示出(x,y)的所有可能出现的结果;
(2)求小米、小华各取一次小球所确定的点(x,y)落在反比例函数y=的图象上的概率.
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【题目】如图,在直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,4)和(3,0),点C是y轴上的一个动点,且A,B,C三点不在同一条直线上,当△ABC的周长最小时,点C的坐标是____________.
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【题目】李老师为了了解班级学生自主学习、合作交流的具体情况,对九(1)班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查,并将调查结果分成四类,A:特别好;B:好;C;一般;D:较差,并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图.请你根据统计图解答下列问题:
(1)本次调查中,李老师一共调查了 名同学,其中女生共有 名.
(2)将上面的条形统计图补充完整;
(3)为了共同进步,李老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习,请求所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率.
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【题目】如图,在中,,,以AB为直径的半圆O交AC于点D,点E是上不与点B,D重合的任意一点,连接AE交BD于点F,连接BE并延长交AC于点G.
(1)求证:;
(2)填空:
①若,且点E是的中点,则DF的长为 ;
②取的中点H,当的度数为 时,四边形OBEH为菱形.
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