分析 (1)根据点A、C的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(2)由二次函数图象上点的坐标特征可找出点B的坐标,根据点B、C的坐标,利用待定系数法可求出直线BC的解析式,设点P的坐标为(m,0)(0≤m≤3),点M的坐标为(m,-m2+2m+3),点N的坐标为(m,-m+3),由此即可得出MN=-m2+3m,利用配方法即可求出线段MN的最大值;
(3)根据平行四边形的性质可得出MN=OC,分m<0或m>3以及0≤m≤3两种情况,即可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出结论.
解答 解:(1)将A(-1,0)、C(0,3)代入y=-x2+bx+c中,
$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$,解得:$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$,
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
(2)当y=-x2+2x+3=0时,x1=-1,x2=3,
∴点B的坐标为(3,0).
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
将B(3,0)、C(0,3)代入y=kx+b中,
$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$,解得:$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$,
∴直线BC的解析式为y=-x+3.
设点P的坐标为(m,0)(0≤m≤3),点M的坐标为(m,-m2+2m+3),点N的坐标为(m,-m+3),
∴MN=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=-(m-$\frac{3}{2}$)2+$\frac{9}{4}$,
∴当m=$\frac{3}{2}$,线段MN取最大值,最大值为$\frac{9}{4}$.
(3)∵MN∥CO,
∴当MN=CO时,以点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形.
∵点O(0,0)、C(0,3),
∴OC=3,
∴|-m2+3m|=3,
当m<0或m>3时,有m2-3m=3,
解得:m1=$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$,m2=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$;
当0≤m≤3时,有-m2+3m=3,
∵△=(-3)2-4×1×3=-3<0,
∴此时方程无解.
综上所述:存在点P,使得以点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形,此时m的值为$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$或$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$.
点评 本题考查了待定系数法求一次(二次)函数解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质以及解一元二次方程,解题的关键是:(1)根据点A、C的坐标,利用待定系数法求出二次函数解析式;(2)利用配方法求出线段MN的最大值;(3)分m<0或m>3以及0≤m≤3两种情况,找出关于m的一元二次方程.
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A. | 4.6×109 | B. | 4.6×1010 | C. | 4.6×1011 | D. | 46×108 |
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A. | 3x-1-6=2(3x+1) | B. | (x-1)-1=2(x+1) | C. | 3(x-1)-1=2(3x+1) | D. | 3(x-1)-6=2(3x+1) |
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A. | a6÷a3=a2 | B. | $\sqrt{6}$÷$\sqrt{3}$=$\sqrt{2}$ | C. | (-1)-1=1 | D. | (a3)2=a5 |
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A. | 2000名考生是总体的一个样本 | |
B. | 每个考生是个体 | |
C. | 这5万名考生的数学中考成绩的全体是总体 | |
D. | 统计中采用的调查方式是普查 |
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A. | 2和3之间 | B. | 3和4之间 | C. | 4和5之间 | D. | 5和6之间 |
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