【题目】如图,点,在抛物线上,且在该抛物线对称轴的同侧(点在点的左侧),过点、分别作轴的垂线,分别交轴于点、,交直线于点、.设为四边形的面积.则下列关系正确的是( )
A. S=y2+y1 B. S=y2+2y1 C. S=y2-y1 D. S=y2-2y1
【答案】C
【解析】
首先根据题意可求得:y1,y2的值,A与C的坐标,即可用x1与x2表示出AB,CD,BD的值,易得四边形ABCD是直角梯形,即可得S=(AB+CD)BD,然后代入其取值,整理变形,即可求得S与y1、y2的数量关系式.
解:根据题意得:y1=ax12+bx1+c,y2=ax22+bx2+c,
点A的坐标为:(x1,2ax1+b),点C的坐标为:(x2,2ax2+b),
∴AB=2ax1+b,CD=2ax2+b,BD=x2-x1,
∵EB⊥BD,CD⊥BD,
∴AB∥CD,
∴四边形ABCD是直角梯形,
∴S=(AB+CD)BD=(2ax1+b+2ax2+b)(x2-x1)=a(x2+x1)(x2-x1)+b(x2-x1)=(ax22+bx2)-(ax12+bx1)=(ax22+bx2+c)-(ax12+bx1+c)=y2-y1.
即S=y2-y1.
故选:C.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC是⊙O的直径,∠ABC=30°,过点B作⊙O的切线BD,与CA的延长线交于点D,与半径AO的延长线交于点E,过点A作⊙O的切线AF,与直径BC的延长线交于点F.
(1)求证:△ACF∽△DAE;
(2)若S△AOC=,求DE的长;
(3)连接EF,求证:EF是⊙O的切线.
【答案】(1) 见解析; (2)3 ;(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)根据圆周角定理得到∠BAC=90°,根据三角形的内角和得到∠ACB=60°根据切线的性质得到∠OAF=90°,∠DBC=90°,于是得到∠D=∠AFC=30°由相似三角形的判定定理即可得到结论;
(2)根据S△AOC=,得到S△ACF=,通过△ACF∽△DAE,求得S△DAE=,过A作AH⊥DE于H,解直角三角形得到AH=DH=DE,由三角形的面积公式列方程即可得到结论;
(3)根据全等三角形的性质得到OE=OF,根据等腰三角形的性质得到∠OFG=(180°﹣∠EOF)=30°,于是得到∠AFO=∠GFO,过O作OG⊥EF于G,根据全等三角形的性质得到OG=OA,即可得到结论.
试题解析:(1)证明:∵BC是⊙O的直径,∴∠BAC=90°,∵∠ABC=30°,∴∠ACB=60°
∵OA=OC,∴∠AOC=60°,∵AF是⊙O的切线,∴∠OAF=90°,∴∠AFC=30°,∵DE是⊙O的切线,∴∠DBC=90°,∴∠D=∠AFC=30,∵∠DAE=ACF=120°,∴△ACF∽△DAE;
(2)∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°,∴∠CAF=30°,∴∠CAF=∠AFC,∴AC=CF,∴OC=CF,∵S△AOC=,∴S△ACF=,∵∠ABC=∠AFC=30°,∴AB=AF,∵AB=BD,∴AF=BD,∴∠BAE=∠BEA=30°,∴AB=BE=AF,∴,∵△ACF∽△DAE,∴=,∴S△DAE=,过A作AH⊥DE于H,∴AH=DH=DE,∴S△ADE=DEAH=×=,∴DE=;
(3)∵∠EOF=∠AOB=120°,∴∠OEB=∠AFO,在△AOF与△BOE中,∵∠OBE=∠OAF,∠OEB=∠AFO,OA=OB,∴△AOF≌△BEO,∴OE=OF,∴∠OFG=(180°﹣∠EOF)=30°,∴∠AFO=∠GFO,过O作OG⊥EF于G,∴∠OAF=∠OGF=90°,在△AOF与△OGF中,∵∠OAF=∠OGF,∠AFO=∠GFO,OF=OF,∴△AOF≌△GOF,∴OG=OA,∴EF是⊙O的切线.
【题型】解答题
【结束】
25
【题目】如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形ABCO是矩形,点A,C的坐标分别是A(0,2)和C(2,0),点D是对角线AC上一动点(不与A,C重合),连结BD,作DE⊥DB,交x轴于点E,以线段DE,DB为邻边作矩形BDEF.
(1)填空:点B的坐标为 ;
(2)是否存在这样的点D,使得△DEC是等腰三角形?若存在,请求出AD的长度;若不存在,请说明理由;
(3)①求证:;
②设AD=x,矩形BDEF的面积为y,求y关于x的函数关系式(可利用①的结论),并求出y的最小值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,已知点的坐标为.将点绕着原点按逆时针方向旋转得到点,延长到点,使;再将点绕着原点按逆时针方向旋转得到点,延长到点,使;…如此继续下去.
求:(1)点的坐标;(2)点的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,将一块长方形纸片ABCD沿BD翻折后,点C与E重合,若∠ADB=30°,EH=2cm,则BC的长度为( )cm.
A.8B.7C.6D.5
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,是抛物线图象的一部分,已知抛物线的对称轴是,与轴的一个交点是,有下列结论:
①;
②;
③;
④抛物线与轴的另一个交点是;
⑤点,都在抛物线上,则有.
其中正确的是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点、、.若点的坐标为,点的坐标为,
圆弧所在圆的圆心点的坐标为________
点是否在经过点、、三点的抛物线上;
在的条件下,求证:直线是的切线.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4.Rt△MPN中,∠MPN=90°,点P在AC上,PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF时,AP=________.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(12分)如图,已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线,切点为B.AC经过圆心O并与圆相交于点D、C,过C作直线CE丄AB,交AB的延长线于点E.
(1)求证:CB平分∠ACE;
(2)若BE=3,CE=4,求⊙O的半径.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com