Question

10．已知x=$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$，y=$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$，求下列各式的值．
（1）x²-y²
（2）$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$．

Answer 1

分析 （1）先求出x、y的值，再求出x+y和x-y的值，再根据平方差平方公式进行变形，最后代入求出即可；
（2）先求出x+y和xy的值，再通分，根据完全平方公式进行变形，最后代入求出即可．

解答 解：（1）∵x=$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$=$\frac{（\sqrt{2}+1）×（\sqrt{2}+1）}{（\sqrt{2}-1）×（\sqrt{2}+1）}$=3+2$\sqrt{2}$，y=$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$=3-2$\sqrt{2}$，
∴x+y=6，x-y=4$\sqrt{2}$，
∴x²-y²=（x+y）（x-y）=24$\sqrt{2}$；

（2）∵x=3+2$\sqrt{2}$，y=3-2$\sqrt{2}$，
∴x+y=6，xy=9-8=1，
∴$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$
=$\frac{{y}^{2}+{x}^{2}}{xy}$
=$\frac{（x+y）^{2}-2xy}{xy}$
=$\frac{{6}^{2}-2×1}{1}$
=34．

点评 本题考查了二次根式的化简求出值，完全平方公式，平方差公式等知识点，能正确根据公式进行变形是解此题的关键．