Question

 在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．

(1)如图①，当∠DAB＝120°，∠B＝∠D＝90°时，求证：AB＋AD＝AC．

(2)如图②，当∠DAB＝120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．

(3)如图③，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC还有上面的数量关系吗?说明理由。

Answer 1

解：(1)在四边形ABCD中，∵AC平分∠DAB，∠DAB＝120°，

∴∠CAB＝∠CAD＝60°．又∵∠B＝∠D＝90°，

∴∠ACB＝∠ACD＝30°．，即AB＋AD＝AC．

(2)AB＋AD＝AC．

证明如下：如图①，过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、F．

∵AC平分∠DAB，

∴CE＝CF．

∵∠ABC＋∠D＝180°，

∠ABC＋∠CBF＝180°，

∴∠CBF＝∠D．

又∵∠CED＝∠CFB＝90°，

∴△CED≌△CFB．∴ED＝BF．

∴AD＋AB＝AE＋ED＋AB＝AE＋BF＋AB＝AE＋AF．

由(1)知AE＋AF＝AC．

∴AB＋AD＝AC．

第26题答图①

第26题答图②

(3)AB＋AD＝AC．

证明如下：如图②，过C点分别作AB和AD延长线的垂线段，垂足分别是E、F．

∵AC平分∠DAB，∴CE＝CF．

∵∠ABC＋∠ADC＝180°，

∠ADC＋∠FDC＝180°，

∴∠ABC＝∠FDC．

又∵∠CEB＝∠CFD＝90°．

∴△CEB≌△CFD．∴CB＝CD．

延长AB至G，使BG＝AD，连结CG．

∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠CBG＝180°，

∴∠CBG＝∠ADC．∴△GBC≌△ADC．

∴∠G＝∠DAC＝∠CAB＝45°．∴∠ACG＝90°．

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