Question

【新概念定义】若有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”．如图（1）△ABC与△ABD是以AB为公共边的
“共边三角形”．“共边三角形”的性质：如图（1）共边△ABC与△ABD，连结第三个顶点DC并延长交AB于E，则

S△ABC

S△ABD

=

CE

DE

．
【问题解决】
如图（2），已知在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，BE的连线交AC于F．
（1）找出以BF为公共边的所有“共边三角形”，若△ABC的面积为45cm²，分别求出这些“共边三角形”的面积；
（2）求证：AF=

1

3

AC；
（3）若将“D为BC的中点”条件，改为“BD：DC=2：3”．则

AF

CF

=

 

．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据定义容易得出结果为△ABF、△DBF、△CBF；过D作DG∥BF，交AC于点G，先求出CG=FG，AF=FG，即可求出结论；
（2）由（1），CG=FG=AF，即可证出AF=

1

3

AC；
（3）先求出

FG

CG

=

BD

DC

=

2

3

，AF=FG，即可求出

AF

CF

的值．

解答：解：（1）以BF为公共边的所有“共边三角形”为△ABF、△DBF、△CBF；
过D作DG∥BF，交AC于点G，如图所示：
∵D为BC的中点，E为AD的中点，
∴CG=FG，AF=FG，
∴CG=FG=AF，
∴S_△ABF=

1

3

S_△ABC=

1

3

×45=15（cm²），
S_△CBF=S_△ABC-S_△ABF=30（cm²），
S_△DBF=

1

2

S△CBF=15cm²；
（2）由（1）得，CG=FG=AF，
∴AF=

1

3

AC；
（3）∵DG∥BF，BD：DC=2：3，E为AD的中点，
∴

FG

CG

=

BD

DC

=

2

3

，AF=FG，
∴

AF

CF

=

2

3+2

=

2

5

；
故答案为：

2

5

．

点评：本题考查了平行线成比例定理、由中线得出的三角形的面积关系以及新定义概念；通过作辅助平行线得出线段关系是解题的关键．