Question

（2013•同安区一模）如图，矩形ABCD中，从较短边AD上找一点E，过点E剪下一个正三角形和一个正方形，它们边长分别为DE和AE．设矩形相邻两边长分别为6和

3

+4，当DE为

4

时，使得剪下的正三角形的面积和正方形的面积之和最小，最小值为

4

3

+3

．

Answer 1

分析：设DE=x，则AE=

3

+4-x，剪下的正三角形的面积和正方形的面积之和为y，根据正三角形和正方形的面积公式得y=

3

4

x²+（

3

+4-x）²，整理后发现y是x的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．

解答：解：设DE=x，则AE=

3

+4-x，剪下的正三角形的面积和正方形的面积之和为y，
由题意，得y=

3

4

x²+（

3

+4-x）²
=

3

4

x²+3+16+x²+8

3

-2

3

x-8x
=（

3

4

+1）x²-（2

3

+8）x+（19+8

3

），
∵

3

4

+1＞0，
∴当x=

2 3 +8

2( 3 4 +1)

=4时，y有最小值，
最小值是：

4( 3 4 +1)(19+8 3 )-(2 3 +8)2

4( 3 4 +1)

=4

3

+3．
故答案为4，4

3

+3．

点评：本题考查了正三角形和正方形的面积，二次函数的性质，二次根式的化简，难度适中，得出y与x的函数关系式是解题的关键，利用二次根式的性质进行化简是本题的难点．