Question

12．如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=10，点D为AC边的一个动点（不与点A、C重合），过点D作DE∥AB，交BC于点E，再过点E作EF∥AC，交AB于点F．
（1）设△ADF的面积为y，CD的长为x，求y与x的函数关系式；
（2）求△ADF面积的最大值；
（3）当图中同时有三个平行四边形时，求AD的长；
（4）当△ADF是等腰三角形时，将△ADF沿DF折叠，得到△A′DF，求△A′DF与四边形DFBC重叠部分的面积．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形表示出AH，AD，用面积公式即可；
（2）由S_△ADF=-$\frac{1}{2}$x²+5x，要使面积达到最大值，确定二次函数的极值；
（3）分三种情况分别计算，由两腰相等建立方程求出x，然后计算面积即可．

解答 解：（1）如图1，

∵AC=10，CD=x，
∴AD=10-x，
在等腰直角△ABC中，AE=CD=x，
∵EF∥AC，
∴EC=AH，
∴S_△ADF=$\frac{1}{2}$×AD×AC=$\frac{1}{2}$×（10-x）×x=-$\frac{1}{2}$x²+5x，
（2）由（1）有，S_△ADF=-$\frac{1}{2}$x²+5x=-$\frac{1}{2}$（x-5）²+$\frac{25}{2}$，
∴当x=5时，△ADF面积最大，最大值为$\frac{25}{2}$；
（3）当图中同时有三个平行四边形时，
∴DE=AF=BF，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=5；
（3）由题意得△A′DF与四边形DFBC重叠部分的面积等于△ADF的面积，
①当DF=AF时，如图2，

∵∠A=45°
∴∠ADF=45°，
∴∠AFD=90°，
∵DE∥AB，
∴∠EDF=90°，
∵DF=DE=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$x，
∴DF=AF=2x，
∵AD=10-x，
∴10-x=$\sqrt{2}$×2x，
∴x=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$，
∴S_△ADF=$\frac{1}{2}$×AF²=$\frac{1}{2}$×（$\frac{10\sqrt{2}}{3}$）²=$\frac{100}{9}$．
∴△A′DF与四边形DFBC重叠部分的面积$\frac{100}{9}$
②当DF=AD时，如图3，

同理：得到∠ADF=90°，CD=DE=x，
∴x=10-x，
∴x=5，
∴AD=10-5=5，
S_△ADF=$\frac{1}{2}$×AD²=$\frac{1}{2}$×5²=$\frac{25}{2}$，
∴△A′DF与四边形DFBC重叠部分的面积$\frac{25}{2}$；
③当AF=AD时，如图1，

由题意得，AF=DE=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$x，
∴$\sqrt{2}$x=10-x，
∴x=10（$\sqrt{2}$-1），
∴AD=10-x=10（2-$\sqrt{2}$），
由（1）有AH=CE=CD=10（$\sqrt{2}$-1），
∴S_△ADF=$\frac{1}{2}$×AD×AH=$\frac{1}{2}$×10（2-$\sqrt{2}$）×10（$\sqrt{2}$-1）=150$\sqrt{2}$-200，
∴△A′DF与四边形DFBC重叠部分的面积150$\sqrt{2}$-200．
∴△A′DF与四边形DFBC重叠部分的面积$\frac{100}{9}$、$\frac{25}{2}$和150$\sqrt{2}$-200．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的面积计算方法，二次函数的极值的确定方法，折叠的性质，三角形的中位线，解本题的关键是找到相等关系，建立方程．