Question

5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．
（1）证明：AF=CG；
（2）判断点C在BD上的位置，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若DE=3，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）要证AF=CG，只需证明△AFC≌△CBG即可；
（2）连接AG，证明△ACG≌△BCG，得出AG=BG，再证出∠D=∠GAD，得出AG=DG即可；
（3）延长CG交AB于H，则CH⊥AB，H平分AB，继而证得CH∥AD，得出DG=BG和△ADE与△CGE全等，证得CF=2DE即可．

解答 （1）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，CG平分∠ACB，
∴∠CAF=∠CBA=45°，∠BCG=∠ACG=45°，
∴∠BCG=∠CAF=45°，
在△BCG和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠BCG}&{\;}\\{AC=CB}&{\;}\\{∠ACF=∠CBG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△CAF（ASA），
∴AF=CG；
（2）解：点G是BD的中点；理由如下：
连接AG，如图1所示：
在△ACG与△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠ACG=∠BCG}&{\;}\\{CG=CG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△BCG（SAS），
∴AG=BG，
∴∠GBA=∠GAB，
∵AD⊥AB
∴∠D=90°-∠GBA=90°-∠GAB=∠GAD，
∴AG=DG．
（3）解：如图2，延长CG交AB于H，
∵CG平分∠ACB，AC=BC，
∴CH⊥AB，CH平分AB，
∵AD⊥AB，
∴AD∥CG，
∴∠D=∠EGC，
在△ADE与△CGE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠CEG}&{\;}\\{∠D=∠EGC}&{\;}\\{AE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CGE（AAS），
∴DE=GE，即DG=2DE，
∵AD∥CG，CH平分AB，
∴DG=BG，
∵△AFC≌△CBG，
∴CF=BG，
∴CF=2DE=6．

点评 本题是三角形综合题目，考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质、平行线的判定及性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解本题的关键．