Question

【题目】如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．

（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；

（2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；

（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．

Answer 1

【答案】(1) C（0，3a），D（2，﹣a）;(2)3;(3) y=x2﹣4x+3或y= x2﹣2x+ ．

【解析】（1）令x=0可求得C点坐标，化为顶点式可求得D点坐标；

（2）令y=0可求得A、B的坐标，结合D点坐标可求得△ABD的面积，设直线CD交x轴于点E，由C、D坐标，利用待定系数法可求得直线CD的解析式，则可求得E点坐标，从而可表示出△BCD的面积，可求得k的值；

（3）由B、C、D的坐标，可表示出BC2、BD2和CD2，分∠CBD=90°和∠CDB=90°两种情况，分别利用勾股定理可得到关于a的方程，可求得a的值，则可求得抛物线的解析式．

（1）在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得：y=3a，∴C（0，3a）．

∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x2﹣4x+3）=a（x﹣2）2﹣a，∴D（2，﹣a）；

（2）在y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得：x=1或x=3，∴A（1，0），B（3，0），∴AB=3﹣1=2，∴S△ABD=×2×a=a．

如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=tx+b，把C、D的坐标代入可得，解得：，

∴直线CD解析式为y=﹣2ax+3a，令y=0可解得：x=，∴E（，0），∴BE=3﹣=，

∴S△BCD=S△BEC+S△BED=××（3a+a）=3a，∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3，∴k=3；

（3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，BD2=（3﹣2）2+a2=1+a2．

∵∠BCD＜∠BCO＜90°，∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况．

①当∠CBD=90°时，则有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得：a=﹣1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；

②当∠CDB=90°时，则有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得：a=﹣（舍去）或a=，此时抛物线解析式为y=x2﹣2x+；

综上可知：当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3或y=x2﹣2x+．