Question

如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．

（1）当P异于A．C时，请说明PQ∥BC；

（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质。

专题：几何综合题。

分析：（1）连接BD交AC于O，构建直角三角形AOB．利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB；然后根据“相似三角形的对应角相等”证得∠APQ=∠ACB；最后根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”可以证得结论；

（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，构建Rt△CPM，在Rt△CPM利用特殊角的三角函数值求得PM=PC=，然后根据PM=PQ=AQ=t列出关于t的方程，通过解方程即可求得t的值；

如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，根据等边三角形的判定可以推知△PQB为等边三角形，然后由等边三角形的性质以及（2）中求得t的值来确定此时t的取值范围；

如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，据此等量关系列出关于t的方程，通过解方程求得t的值．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2cm，

∴AB=BC=2，∠BAC=∠DAB，

又∵∠DAB=60°（已知），

∴∠BAC=∠BCA=30°；

如图1，连接BD交AC于O．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA=AC，

∴OB=AB=1（30°角所对的直角边是斜边的一半），

∴OA=，AC=2OA=2，

运动ts后，，

∴

又∵∠PAQ=∠CAB，

∴△PAQ∽△CAB，

∴∠APQ=∠ACB（相似三角形的对应角相等），

∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行）…5分

（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC．

在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=PC=

由PM=PQ=AQ=t，即=t

解得t=4﹣6，此时⊙P与边BC有一个公共点；

如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，

∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°

∴△PQB为等边三角形，∴QB=PQ=AQ=t，∴t=1

∴时，⊙P与边BC有2个公共点．

如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，即2t=t，∴t=3﹣．

∴当1≤t≤3﹣时，⊙P与边BC有一个公共点，

当点P运动到点C，即t=2时，⊙P过点B，此时，⊙P与边BC有一个公共点，

∴当t=4﹣6或1＜t≤3﹣或t=2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；

当4﹣6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．

点评：本题综合考查了菱形的性质、直线与圆的位置关系以及相似三角形的判定等性质．解答（2）题时，根据⊙P的运动过程来确定t的值，以防漏解．