Question

如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕为FG，且BG=10．
求证：四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长．

Answer 1

分析：由四边形ABCD是矩形，根据折叠的性质，易证得△EFG是等腰三角形，即可得EF=BG，又由EF∥BG，即可得四边形BGEF为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得四边形BGEF为菱形；
过点F作FK⊥BG于K，可得四边形ABKF是矩形，然后根据勾股定理，即可求得AF的长，继而求得FG的长．

解答：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EFG=∠BGF，
∵图形翻折后点B与点E重合，GF为折线，
∴∠BGF=∠EGF，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EF=GE，
∵图形翻折后BG与GE完全重合，
∴BG=GE，
∴EF=BG，
∴四边形BGEF为平行四边形，
∴四边形BGEF为菱形；
过点F作FK⊥BG于K，
∴四边形ABKF是矩形，
∴FK=AB=8，BK=AF，
在Rt△ABF中，AB=8，∠A=90°，BF=BG=10，
∴AF=

BF2-AB2

=6，
∴GK=BG-BK=10-6=4，
∴FG=

FK2+GK2

=4

5

．

点评：此题考查了折叠的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的性质，以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．