Question

10．已知反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$的图象与一次函数y₂=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（-2，m），点C与点A关于x轴对称．
（1）求反比例函数及一次函数解析式，并求△ABC的面积；
（2）观察图象，写出y₁＞y₂时自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由点A的坐标利用待定系数法，可求出反比例函数的解析式，由点B的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标，可求出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法，可求出一次函数解析式，过点B作BD⊥AC于点D，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积；
（2）根据两函数图象的上下位置关系，即可得出不等式y₁＞y₂的解集．

解答 解：（1）∵点A（1，4）在反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴4=$\frac{k}{1}$，解得：k=4，
∴反比例函数的解析式为y₁=$\frac{4}{x}$．
∵点B（-2，m）在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上，
∴m=$\frac{4}{-2}$=-2，
∴点B的坐标为（-2，-2）．
将点A（1，4）、B（-2，-2）代入y₂=ax+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{a+b=4}\\{-2a+b=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y₂=2x+2．
过点B作BD⊥AC于点D，则BD=2+1=3，如图所示．
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×（4+4）×3=12．

（2）观察函数图象可知：当x＜-2或0＜x＜1时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，
∴y₁＞y₂时自变量x的取值范围为x＜-2或0＜x＜1．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次（反比例）函数解析式，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据两函数图象的上下位置关系，解不等式．