Question

7．已知：如图，以AB为直径作半圆，半径OC⊥AB，以OC为直径作⊙OO′，再作⊙A′和⊙B都与AB、⊙O及⊙O′相切，如果AB=2R，求⊙A′的半径．

Answer 1

分析 连接OA′并延长交⊙O于D，作A′E⊥AB于E，A′F⊥OC于F，连接A′O′，如图，设⊙A′的半径为r，利用切线的性质和相切两圆的连心线过切点得到OC=OD=R，A′D=A′E=r，A′O′=r+$\frac{R}{2}$，再证明四边形A′EOF为矩形得到OF=A′E=r，则O′F=O′O-OF=$\frac{R}{2}$-r，接着利用勾股定理建立方程得到（R-r）²-r²=（$\frac{1}{2}$R+r）²-（$\frac{1}{2}$R-r）²，然后解关于r的一元二次方程即可．

解答 解：连接OA′并延长交⊙O于D，作A′E⊥AB于E，A′F⊥OC于F，连接A′O′，如图，设⊙A′的半径为r，
∵⊙A′和⊙B都与AB、⊙O及⊙O′相切，
∴OC=OD=R，A′D=A′E=r，A′O′=r+$\frac{R}{2}$，
∵OC⊥AB，A′E⊥AB，A′F⊥OC，
∴四边形A′EOF为矩形，
∴OF=A′E=r，
∴O′F=O′O-OF=$\frac{R}{2}$-r，
在Rt△A′OF中，A′F²=OA′²-OF²=（R-r）²-r²，
在Rt△A′O′F中，A′F²=O′A′²-O′F²=（$\frac{1}{2}$R+r）²-（$\frac{1}{2}$R-r）²，
∴（R-r）²-r²=（$\frac{1}{2}$R+r）²-（$\frac{1}{2}$R-r）²，
整理得r²-3Rr+R²=0，解得r₁=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$R，r₂=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$R（舍去），
∴⊙A′的半径为$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$R．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了两圆相切的性质和勾股定理．