Question

已知抛物线y=x²+kx+k-1．
（1）求证：无论k是什么实数，抛物线与x轴相交于一定点；
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A（x_A，0），B（x_B，0）两点，且满足x_A＜x_B＜0，S_△ABC=6，求此二次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，y轴负半轴上是否存在一点D，使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点D的坐标，并直接写出△ACD的外接圆半径R的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：令y=0，有x²+kx+k-1=0，
解得x₁=-1，x₂=1-k，
∴抛物线与x轴相交于一定点为（-1，0），

（2）解：∵x_A＜x_B＜0，
∴1-k＜0，即k＞1，
①若-1＜1-k，则k＜2，
∴1＜k＜2，这时x_A=-1，x_B=1-k，
∴AB=x_B-x_A=1-k-（-1）=2-k，且OC=k-1，
∴S_△ABC=，
整理，得k²-3k+14=0，
∵b²-4ac=（-3）²-4×14＜0，
∴此方程无实数解，即-1＜1-k不成立；
②若1-k＜-1，则k＞2，
∴这时x_A=1-k，x_B=-1，
∴AB=x_B-x_A=-1-（1-k）=k-2，且OC=k-1，
∴S_△ABC=，
整理，得（k-5）（k+2）=0，
∴k₁=5，k₂=-2（不合，舍去），
∴所求二次函数的表达式为y=x²+5x+4．

（3）解：如图，存在一点D，使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，
由（2）知，A（-4，0），B（-1，0），C（0，4），
∴AB=3，OC=4，AC=，
由于∠CAO=∠OCA=45°，
所以只有△CAD∽△ABC，
于是有，
∴，
OD=CD-OC=，
∴D点坐标为（0，），
∴R=．
分析：（1）因为抛物线与x轴相交于一定点，令x²+kx+k-1=0，解方程两根有一常数，问题得证；
（2）由x_A＜x_B＜0，得1-k＜0，分两种情况：
①若-1＜1-k，则k＜2，求得1＜k＜2，表示出AB、OC，代入S_△ABC=6解答求k；
②若1-k＜-1，则k＞2，表示出AB、OC，代入S_△ABC=6解答求k；
（3）由y=x²+5x+4求出A、B、C三点的坐标，进一步求得AB、AC，由△CAD∽△ABC，求出CD，得出OD，求出点D的坐标，由△ACD的三边求出外接圆半径R．
点评：本题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、相似三角形的判定和性质等知识，渗透分类讨论及数形结合的思想．