Question

7．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+6分别交x轴，y轴于点A、B，对称轴为直线x=4的抛物线y=ax²+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一点C．点P是直线AB上的动点，点Q是抛物线上的动点．
（1）求该抛物线所对应的函数的关系式及顶点M的坐标；
（2）将抛物线在x轴下方的部分沿着x轴翻折，点M的对应点为M′，判断点M′是否落在直线AB上，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点P、Q、M、M′为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）若△QAB是以AB为底边的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B两点坐标，利用待定系数法列出方程组即可解决问题．
（2）求出点M（4，-2）关于x轴的对称点M′（4，2），由此即可判断．
（3）分两种情形讨论①当以MM′为四边形的对角线时，因为MM′与AC相互垂直平分，四边形CMAM′是平行四边形，此时P、Q分别于A、C重合．②当以MM′为边时，要使以点P、Q、M、M′为顶点的四边形是平行四边形，只要PQ∥MM′，PQ=MM′，由此列出方程即可解决问题．
（4）由题意点Q在AB的垂直平分线上，求出线段AB的中垂线的解析式，解方程组即可解决问题．

解答 解：（1）∵直线y=-x+6分别交x轴，y轴于点A、B，
∴A（6，0），B（0，6），
由题意$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=4}\\{c=6}\\{36a+6b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-4}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-4x+6．
∴顶点M（4，-2）．

（2）∵点M（4，-2）关于x轴的对称点M′（4，2），
对于直线y=-x+6，x=4时，y=2，
∴点M′在直线AB上．

（3）存在，
当以MM′为四边形的对角线时，
∵MM′与AC相互垂直平分，
∴四边形CMAM′是平行四边形，此时P、Q分别于A、C重合
∴P（6，0）
当以MM′为边时
要使以点P、Q、M、M′为顶点的四边形是平行四边形
∴PQ∥MM′，PQ=MM′
∵P、Q是直线AB和（1）抛物线上的动点
∴P、Q的坐标分别为（m，-m+6）（m，$\frac{1}{2}$m²-4m+6）
∴PQ=MM′=4
∴|$\frac{1}{2}$m²-4m+6-（-m+6）|=4，
∴$\frac{1}{2}$m²-3m=±4，
当$\frac{1}{2}$m²-3m=-4时，m=2或4，
m=4时，P与M′重合，不合题意舍弃，
∴m=2，点P（2，4）．
当$\frac{1}{2}$m²-3m=4时，m=3+$\sqrt{17}$或3-$\sqrt{17}$，
∴点P（3+$\sqrt{17}$，3-$\sqrt{17}$）或（3-$\sqrt{17}$，3+$\sqrt{17}$）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（2，4）或（3+$\sqrt{17}$，3-$\sqrt{17}$）或（3-$\sqrt{17}$，3+$\sqrt{17}$）．

（4）由题意点Q在AB的垂直平分线上，
∵A（6，0），B（0，6），
∴AB的中点为（3，3），
∴AB的中垂线的解析式为y=x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-4x+6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5-\sqrt{13}}\\{y=5-\sqrt{13}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5+\sqrt{13}}\\{y=5+\sqrt{13}}\end{array}\right.$，
∴点Q的坐标为（5-$\sqrt{13}$，5-$\sqrt{13}$）或（5+$\sqrt{13}$，5+$\sqrt{13}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、一次函数、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．