Question

15．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O且与AD，BC分别交于点E，F，已知AB=4，BC=5，OE=1．
（1）求四边形EFCD的周长；
（2）若AB⊥AC，求四边形EFCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质可得DC=AB=4，BC=DA=5，AO=CO，AD∥BC，然后再证明△EAO≌△FCO，EO=FO=1，FC=AE，进而可得四边形EFCD的周长；
（2）首先利用勾股定理计算出AC长，然后再利用三角形的面积公式可得△ACB的面积，进而可得△ADC的面积，再由△EAO≌△FCO可得四边形EFCD的面积=△ADC的面积，进而可得答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=4，BC=DA=5，AO=CO，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△EAO和△FCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△EAO≌△FCO（ASA），
∴EO=FO=1，FC=AE，
∴四边形EFCD的周长为：EF+FC+CD+ED=EF+AE+ED+DC=2+5+4=11；

（2）∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴AC=$\sqrt{C{B}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{25-16}$=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×$3×4=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S_△ACD=S_△ABC=6，
∵△EAO≌△FCO，
∴S_△AEO=S_△FCO，
∴S_{四边形EFCD}=S_△ACD=6．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分．