Question

6．已知$\frac{{x}^{2}+2x+1}{（x-2）^{3}}$=$\frac{A}{x-2}$+$\frac{B}{（x-2）^{2}}$+$\frac{C}{（x-2）^{3}}$，求A、B、C的值．

Answer 1

分析 先通分右边，再进行分式的加法，根据对应相等的原则即可得出A、B、C的值．

解答 解：右边=$\frac{A（x-2）^{2}}{（x-2）^{3}}$+$\frac{B（x-2）}{（x-2）^{3}}$+$\frac{C}{（x-2）^{3}}$
=$\frac{A{x}^{2}-4Ax+4A+Bx-2B+C}{（x-2）^{3}}$
=$\frac{A{x}^{2}+（B-4A）x+4A-2B+C}{（x-2）^{3}}$，
∵左边=$\frac{{x}^{2}+2x+1}{（x-2）^{3}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{A=1}\\{B-4A=2}\\{4A-2B+C=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{A=1}\\{B=6}\\{C=9}\end{array}\right.$，
答：A、B、C的值分别为1，6，9．

点评 本题考查了分式的加减法，以及解方程组，分式的通分是解题的关键．