Question

己知：二次函数y=ax²+bx+6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x²-4x-12=0的两个根．
（1）请直接写出点A、点B的坐标．
（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．
（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．

Answer 1

分析：（1）解一元二次方程x²-4x-12=0可求A、B两点坐标；
（2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax²+bx+6，可求二次函数解析式，配方为顶点式，可求对称轴及顶点坐标；
（3）作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，P点即为所求；
（4）由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△BDQ的面积，利用三角形面积公式表示△ACQ的面积，根据S_△CDQ=S_△ABC-S_△BDQ-S_△ACQ，运用二次函数的性质求面积最大时，m的值．

解答：解：（1）A（-2，0），B（6，0）；

（2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax²+bx+6，得

4a-2b+6=0 36a+6b+6=0

，
解得

a=- 1 2 b=2

，
∴y=-

1

2

x²+2x+6，
∵y=-

1

2

（x-2）²+8，
∴抛物线对称轴为x=2，顶点坐标为（2，8）；

（3）如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，
∵C（0，6），
∴C′（4，6），设直线AC′解析式为y=ax+b，则

-2a+b=0 4a+b=6

，
解得

a=1 b=2

，
∴y=x+2，当x=2时，y=4，
即P（2，4）；

（4）依题意，得AB=8，QB=6-m，AQ=m+2，OC=6，则S_△ABC=

1

2

AB×OC=24，
∵由DQ∥AC，∴△BDQ∽△BCA，
∴

S△BDQ

S△BCA

=（

BQ

BA

）²=（

6-m

8

）²，
即S_△BDQ=

3

8

（m-6）²，
又S_△ACQ=

1

2

AQ×OC=3m+6，
∴S=S_△ABC-S_△BDQ-S_△ACQ=24-

3

8

（m-6）²-（3m+6）=-

3

8

m²+

3

2

m+

9

2

=-

3

8

（m-2）²+6，
∴当m=2时，S最大．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，相似三角形的知识解题．