Question

14．在平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{3}{5}x$+3与x轴、y轴相交于B、C两点，动点D在线段OB上，将线段DC绕着点D顺时针旋转90°得到DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥y轴，交直线l于F，设点D的横坐标为m．
（1）请直接写出点B、C的坐标；
（2）当点E落在直线BC上时，求tan∠FDE的值；
（3）对于常数m，探究：在直线l上是否存在点G，使得∠CDO=∠DFE+∠DGH？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分别令x=0和y=0，即可求得；
（2）证得四边形COHF是矩形，然后证得△OCD≌△HDE，从而证得△DHF是等腰直角三角形，得出∠HDE+∠FDE=45°，由∠OCD+∠ECF=45°，得出∠ECF=∠FDE，进一步得出∠OBC=∠FDE，解直角三角形即可求得tan∠OBC=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{3}{5}$，从而得出tan∠FDE=$\frac{3}{5}$．
（3）根据三角形全等的性质要使∠CDO=∠DFE+∠DGH，只要△EDF∽△EGD，所以只要$\frac{EF}{DE}$=$\frac{DE}{EG}$，即DE²=EF•EG，由（2）可知：DE²=CD²=OD²+OC²=m²+3²，EF=3-m，然后分三种情况讨论即可求得．

解答 解：（1）∵直线y=-$\frac{3}{5}x$+3与x轴、y轴相交于B、C两点，
∴令y=0，则0=-$\frac{3}{5}x$+3，解得x=5，令x=0，则y=3，
∴B（5，0），C（0，3）；
（2）如图1，∵∠CDE=90°，
∴∠CDO+∠EDH=90°，
∵∠CDO+∠OCD=90°，
∴∠OCD=∠EDH，
在△OCD和△HDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OCD=∠HDE}\\{∠COD=∠DHE=90°}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△HDE（AAS），
∴DH=OC=3，
∵直线l⊥x轴于H，CF⊥y轴，
∴四边形COHF是矩形，
∴FH=OC=3，
∴DH=HF，
∴∠HDF=45°，即∠HDE+∠FDE=45°，
∵CD=DE，∠CDE=90°，
∴∠DCE=45°，
∴∠OCD+∠ECF=45°，
∴∠ECF=∠FDE，
∵∠OBC=∠ECF，
∵tan∠OBC=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{3}{5}$，
∴tan∠FDE=$\frac{3}{5}$．
（3）如图2，由（2）可知△OCD≌△HDE，
∴∠CDO=∠DEH，
要使∠CDO=∠DFE+∠DGH，只要∠DEH=∠DFE+∠DGH，
在△DEF中，∠DEH=∠EDF+∠DFE，
∴只要∠EDF=∠DGF，
∵∠FED=∠GED，
只要△EDF∽△EGD，
∴只要$\frac{EF}{DE}$=$\frac{DE}{EG}$，即DE²=EF•EG，
由（2）可知：DE²=CD²=OD²+OC²=m²+3²，EF=3-m，
∴当0＜m＜3时，BG=$\frac{{m}^{2}+9}{3-m}$+m=$\frac{9+3m}{3-m}$，HO=3+m，
此时，G（3+m，$\frac{9+3m}{3-m}$），
根据对称可知，当0＜m＜3时，此时还存在G′（3+m，-$\frac{9+3m}{3-m}$）；
当m=3时，此时点E和点F重合，∠DFE不存在，
当3≤m≤5时，点E在F的上方，此时，∠DFE＞∠DEF，
此时不存在∠CDO=∠DFE+∠DGH，
综上，当0＜m＜3时，存在∠CDO=∠DFE+∠DGH，此时G（3+m，$\frac{9+3m}{3-m}$）或（3+m，-$\frac{9+3m}{3-m}$）．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质以及解直角三角形等，分类讨论思想的运用是解题的关键．