Question

8．已知实数a，b，c（5＜c＜20），a，b为一元二次方程x²-17x+45=-c+3的两个解，方程a（x-c）²+b=ax²-80x+403+c．
求a，b，c．

Answer 1

分析 将方程a（x-c）²+b=ax²-80x+403+c展开后根据左右两边一次项一致可得-2ac=-80，即c=$\frac{40}{a}$，再将a、c代入x²-17x+45=-c+3可得关于a的方程，解之可得a，根据c=$\frac{40}{a}$可得c的值，由c可还原以a、b为解的方程，解之可得b．

解答 解：∵a（x-c）²+b=ax²-80x+403+c，
∴ax²-2ax+ac²+b=ax²-80x+403+c，即-2ax+ac²+b=-80x+403+c，
∴-2ac=-80，
ac=40，
c=$\frac{40}{a}$，
将a、c代入x²-17x+45=-c+3，得：a²-17a+45=-$\frac{40}{a}$+3，
a³-17a²+42a+40=0，
a³-4a²-13a²+52a-10a+40=0，
a²（a-4）-13（a-4）-10（a-4）=0，
（a-4）（a²-13a-10）=0，
∴a-4=0或a²-13a-10=0，
解得：a=4或a=$\frac{13+\sqrt{209}}{2}$或a=$\frac{13-\sqrt{209}}{2}$，
当a=4时，c=$\frac{40}{a}$=10，此时以a、b为解的方程为x²-17x+52=0，
解得：x=4或x=13，即b=13；
当a=$\frac{13+\sqrt{209}}{2}$时，c=$\frac{40}{\frac{13+\sqrt{209}}{2}}$＜5，舍去；
当a=$\frac{13-\sqrt{209}}{2}$时，c=$\frac{40}{\frac{13-\sqrt{209}}{2}}$＜5，舍去；
综上，a=4，b=13，c=10．

点评 本题考查了一元二次方程解的概念和解高次方程的能力，根据题意得出关于a的方程是解题的关键．