Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8，P,E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．

（1）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；

（2）若AP=，求CF的长．

Answer 1

【答案】（1）4；5； （2）

【解析】试题分析：（1）先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论；

（2）先判断出OC=ED，OC=PF，进而得出OC=OP=OF，即可得出∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，最后判断出△ADP∽△CDF，得出比例式即可得出结论．

试题解析：（1）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，∴DC=AB=6，

∴AC==10，

要使△PCD是等腰三角形，分三种情况讨论：

①当CP=CD时，AP=AC﹣CP=10﹣6=4；

②当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，∴∠PAD=∠PDA，∴PD=PA，∴PA=PC，∴AP=AC=5；

③当DP=DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ，∵S△ADC=ADDC=ACDQ，∴DQ= =，∴CQ= =，∴PC=2CQ=，∴AP=AC﹣PC=10﹣=，

所以，若△PCD是等腰三角形时，AP=4或5或；

（2）如图2，连接PF，DE记PF与DE的交点为O，连接OC，

∵四边形ABCD和PEFD是矩形，∴∠ADC=∠PDF=90°，

∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF，∴∠ADP=∠CDF，

∠BCD=90°，OE=OD，∴OC=ED，

在矩形PEFD中，PF=DE，∴OC=PF，

∵OP=OF=PF，∴OC=OP=OF，∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，

∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°，∴2∠OCP+2∠OCF=180°，∴∠PCF=90°，

∴∠PCD+∠FCD=90°，

在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD=90°，∴∠PAD=∠FCD，

∴△ADP∽△CDF，∴=，∵AP=，∴CF=．