分析 (1)连接OC,由圆周角定理得出∠ACB=90°,由等腰三角形的性质得出∠B=∠BCO,证出∠OCD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°,即可得出结论;
(2)证明△ACB∽△ADC,得出AC2=AD•AB,即可得出结果.
解答 (1)证明:连接OC,如图所示:
∵AB是⊙O直径,
∴∠ACB=90°,
∵OB=OC,
∴∠B=∠BCO,
又∵∠ACD=∠B,
∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°,
即OC⊥CD,
∴CD是⊙O的切线;
(2)解:∵AD⊥CD,
∴∠ADC=∠ACB=90°,
又∵∠ACD=∠B,
∴△ACB∽△ADC,
∴AC2=AD•AB=1×4=4,
∴AC=2.
点评 本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质;熟练掌握切线的判定,证明三角形相似是解决问题(2)的关键.
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